関数 $y = \frac{x}{x^2 + 2}$ の導関数 $y'$ を求め、選択肢の中から正しいものを選びます。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{x}{x^2 + 2}$ の導関数 $y'$ を求め、選択肢の中から正しいものを選びます。

2. 解き方の手順

$y = \frac{x}{x^2 + 2}$ を微分するために、商の微分公式を使用します。商の微分公式は、 $y = \frac{u}{v}$ のとき、$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ で与えられます。

この問題では、$u = x$ 、 $v = x^2 + 2$ とすると、

$u' = \frac{d}{dx}(x) = 1$

$v' = \frac{d}{dx}(x^2 + 2) = 2x$

したがって、

$y' = \frac{1 \cdot (x^2 + 2) - x \cdot (2x)}{(x^2 + 2)^2}$

$y' = \frac{x^2 + 2 - 2x^2}{(x^2 + 2)^2}$

$y' = \frac{-x^2 + 2}{(x^2 + 2)^2}$

3. 最終的な答え

選択肢の中で、$y' = \frac{-x^2 + 2}{(x^2 + 2)^2}$ と一致するのは 3 です。

答え: 3