$\sin{A}\sin{B} = \frac{1}{2}[\cos(A-B) - \cos(A+B)]$ したがって、 $\sin{3x}\sin{2x} = \frac{1}{2}[\cos(3x-2x) - \cos(3x+2x)] = \frac{1}{2}[\cos{x} - \cos{5x}]$

## 問題の内容

画像に写っている定積分の問題のうち、以下の３つの問題を解きます。

(1) $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin{3x}\sin{2x} dx$

(2) $\int_{0}^{\pi} \cos^2{x} dx$

(3) $\int_{0}^{1} (e^x - e^{-x})dx$

## 解き方の手順

### (1) $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin{3x}\sin{2x} dx$

1. 積和の公式を用いて、$\sin{3x}\sin{2x}$ を変形します。

$\sin{A}\sin{B} = \frac{1}{2}[\cos(A-B) - \cos(A+B)]$

したがって、

$\sin{3x}\sin{2x} = \frac{1}{2}[\cos(3x-2x) - \cos(3x+2x)] = \frac{1}{2}[\cos{x} - \cos{5x}]$

2. 積分を計算します。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin{3x}\sin{2x} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{2}(\cos{x} - \cos{5x}) dx$

$= \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos{x} - \cos{5x}) dx$

$= \frac{1}{2} [\sin{x} - \frac{1}{5}\sin{5x}]_{0}^{\frac{\pi}{4}}$

$= \frac{1}{2} [(\sin{\frac{\pi}{4}} - \frac{1}{5}\sin{\frac{5\pi}{4}}) - (\sin{0} - \frac{1}{5}\sin{0})]$

$= \frac{1}{2} [(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{5}(-\frac{\sqrt{2}}{2})) - (0 - 0)]$

$= \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{10}) = \frac{1}{2} (\frac{5\sqrt{2} + \sqrt{2}}{10}) = \frac{1}{2} (\frac{6\sqrt{2}}{10}) = \frac{3\sqrt{2}}{10}$

### (2) $\int_{0}^{\pi} \cos^2{x} dx$

1. $\cos^2{x}$ を倍角の公式を用いて変形します。

$\cos{2x} = 2\cos^2{x} - 1$ より、 $\cos^2{x} = \frac{1 + \cos{2x}}{2}$

2. 積分を計算します。

$\int_{0}^{\pi} \cos^2{x} dx = \int_{0}^{\pi} \frac{1 + \cos{2x}}{2} dx$

$= \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} (1 + \cos{2x}) dx$

$= \frac{1}{2} [x + \frac{1}{2}\sin{2x}]_{0}^{\pi}$

$= \frac{1}{2} [(\pi + \frac{1}{2}\sin{2\pi}) - (0 + \frac{1}{2}\sin{0})]$

$= \frac{1}{2} [(\pi + 0) - (0 + 0)] = \frac{\pi}{2}$

### (3) $\int_{0}^{1} (e^x - e^{-x})dx$

1. 積分を計算します。

$\int_{0}^{1} (e^x - e^{-x})dx = [e^x + e^{-x}]_{0}^{1}$

$= (e^1 + e^{-1}) - (e^0 + e^{-0})$

$= (e + \frac{1}{e}) - (1 + 1) = e + \frac{1}{e} - 2$

## 最終的な答え

(1) $\frac{3\sqrt{2}}{10}$

(2) $\frac{\pi}{2}$

(3) $e + \frac{1}{e} - 2$