次の定積分を計算する問題です。 (1) $\int_1^2 \sqrt{x} dx$ (2) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin 2\theta d\theta$ (3) $\int_1^e \frac{1}{x} dx$ (4) $\int_1^2 \frac{1}{y^3} dy$ (5) $\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos^2 \theta} d\theta$ (6) $\int_{-3}^0 2^x dx$ (7) $\int_1^3 \frac{3x-2}{x^2} dx$

1. 問題の内容

次の定積分を計算する問題です。

(1) $\int_1^2 \sqrt{x} dx$

(2) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin 2\theta d\theta$

(3) $\int_1^e \frac{1}{x} dx$

(4) $\int_1^2 \frac{1}{y^3} dy$

(5) $\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos^2 \theta} d\theta$

(6) $\int_{-3}^0 2^x dx$

(7) $\int_1^3 \frac{3x-2}{x^2} dx$

2. 解き方の手順

それぞれの定積分を計算します。

(1) $\int_1^2 \sqrt{x} dx$

$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ なので、積分すると $\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}$ となります。

したがって、

$\int_1^2 \sqrt{x} dx = \left[ \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \right]_1^2 = \frac{2}{3}(2^{\frac{3}{2}} - 1^{\frac{3}{2}}) = \frac{2}{3}(2\sqrt{2} - 1) = \frac{4\sqrt{2} - 2}{3}$

(2) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin 2\theta d\theta$

$\sin 2\theta$ を積分すると $-\frac{1}{2}\cos 2\theta$ となります。

したがって、

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin 2\theta d\theta = \left[ -\frac{1}{2}\cos 2\theta \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = -\frac{1}{2}(\cos \pi - \cos 0) = -\frac{1}{2}(-1 - 1) = -\frac{1}{2}(-2) = 1$

(3) $\int_1^e \frac{1}{x} dx$

$\frac{1}{x}$ を積分すると $\log |x|$ となります。

したがって、

$\int_1^e \frac{1}{x} dx = \left[ \log |x| \right]_1^e = \log e - \log 1 = 1 - 0 = 1$

(4) $\int_1^2 \frac{1}{y^3} dy$

$\frac{1}{y^3} = y^{-3}$ なので、積分すると $-\frac{1}{2}y^{-2} = -\frac{1}{2y^2}$ となります。

したがって、

$\int_1^2 \frac{1}{y^3} dy = \left[ -\frac{1}{2y^2} \right]_1^2 = -\frac{1}{2(2^2)} - \left( -\frac{1}{2(1^2)} \right) = -\frac{1}{8} + \frac{1}{2} = \frac{-1 + 4}{8} = \frac{3}{8}$

(5) $\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos^2 \theta} d\theta$

$\frac{1}{\cos^2 \theta}$ を積分すると $\tan \theta$ となります。

したがって、

$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos^2 \theta} d\theta = \left[ \tan \theta \right]_0^{\frac{\pi}{4}} = \tan \frac{\pi}{4} - \tan 0 = 1 - 0 = 1$

(6) $\int_{-3}^0 2^x dx$

$2^x$ を積分すると $\frac{2^x}{\log 2}$ となります。

したがって、

$\int_{-3}^0 2^x dx = \left[ \frac{2^x}{\log 2} \right]_{-3}^0 = \frac{2^0}{\log 2} - \frac{2^{-3}}{\log 2} = \frac{1}{\log 2} - \frac{\frac{1}{8}}{\log 2} = \frac{1 - \frac{1}{8}}{\log 2} = \frac{\frac{7}{8}}{\log 2} = \frac{7}{8\log 2}$

(7) $\int_1^3 \frac{3x-2}{x^2} dx$

$\frac{3x-2}{x^2} = \frac{3x}{x^2} - \frac{2}{x^2} = \frac{3}{x} - \frac{2}{x^2}$ なので、積分すると $3\log|x| + \frac{2}{x}$ となります。

したがって、

$\int_1^3 \frac{3x-2}{x^2} dx = \left[ 3\log|x| + \frac{2}{x} \right]_1^3 = \left( 3\log 3 + \frac{2}{3} \right) - \left( 3\log 1 + \frac{2}{1} \right) = 3\log 3 + \frac{2}{3} - 0 - 2 = 3\log 3 - \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{4\sqrt{2} - 2}{3}$

(2) $1$

(3) $1$

(4) $\frac{3}{8}$

(5) $1$

(6) $\frac{7}{8\log 2}$

(7) $3\log 3 - \frac{4}{3}$