(1) $xy$平面において、直線 $y=kx$ が、曲線 $y=x^2-4x$ と $x$ 軸で囲まれる部分の面積 $S$ を2等分するとき、$S$と$k$の値を求めよ。 (2) 放物線 $y=ax^2+bx+c$ ($a>0$) の頂点の座標は $(1, -9)$ であり、この放物線と $x$ 軸で囲まれる図形の面積は $9\sqrt{2}$である。このとき、定数 $a, b, c$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $xy$平面において、直線 $y=kx$ が、曲線 $y=x^2-4x$ と $x$ 軸で囲まれる部分の面積 $S$ を2等分するとき、$S$と$k$の値を求めよ。

(2) 放物線 $y=ax^2+bx+c$ ($a>0$) の頂点の座標は $(1, -9)$ であり、この放物線と $x$ 軸で囲まれる図形の面積は $9\sqrt{2}$である。このとき、定数 $a, b, c$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$y=x^2-4x$ と $x$軸との交点を求めます。

$x^2-4x = 0$

$x(x-4) = 0$

よって、$x=0, 4$ です。

次に、$y=x^2-4x$ と $x$軸で囲まれる部分の面積 $S$ を計算します。

$S = -\int_0^4 (x^2 - 4x) dx = -\left[\frac{x^3}{3} - 2x^2\right]_0^4 = -\left(\frac{64}{3} - 32\right) = -\frac{64-96}{3} = \frac{32}{3}$

$y=kx$ と $y=x^2-4x$ の交点を求めます。

$kx = x^2 - 4x$

$x^2 - (4+k)x = 0$

$x(x - (4+k)) = 0$

よって、$x=0, 4+k$ です。

直線 $y=kx$ が面積 $S$ を2等分するので、

$\int_0^{4+k} (kx - (x^2-4x)) dx = \int_0^{4+k} ((k+4)x - x^2) dx = \frac{S}{2} = \frac{16}{3}$

$\left[\frac{(k+4)x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_0^{4+k} = \frac{(k+4)^3}{2} - \frac{(k+4)^3}{3} = \frac{(k+4)^3}{6} = \frac{16}{3}$

$(k+4)^3 = 32$

$k+4 = \sqrt[3]{32} = 2\sqrt[3]{4}$

$k = 2\sqrt[3]{4} - 4$

面積 $S$ は $\frac{32}{3}$ であり、$k = 2\sqrt[3]{4} - 4$ と求まりました。

(2)

頂点の座標が $(1, -9)$ なので、放物線は

$y=a(x-1)^2 - 9 = ax^2 - 2ax + a - 9$

と表せます。よって、$b = -2a$, $c = a-9$。

$x$ 軸との交点を求めます。

$a(x-1)^2 - 9 = 0$

$(x-1)^2 = \frac{9}{a}$

$x-1 = \pm \frac{3}{\sqrt{a}}$

$x = 1 \pm \frac{3}{\sqrt{a}}$

交点は $1-\frac{3}{\sqrt{a}}$ と $1+\frac{3}{\sqrt{a}}$ です。

放物線と $x$ 軸で囲まれる図形の面積は

$\int_{1-\frac{3}{\sqrt{a}}}^{1+\frac{3}{\sqrt{a}}} - (a(x-1)^2 - 9) dx = 9\sqrt{2}$

$-a \int_{1-\frac{3}{\sqrt{a}}}^{1+\frac{3}{\sqrt{a}}} (x-1)^2 dx + 9 \int_{1-\frac{3}{\sqrt{a}}}^{1+\frac{3}{\sqrt{a}}} dx = 9\sqrt{2}$

$-a \left[\frac{(x-1)^3}{3}\right]_{1-\frac{3}{\sqrt{a}}}^{1+\frac{3}{\sqrt{a}}} + 9\left[x\right]_{1-\frac{3}{\sqrt{a}}}^{1+\frac{3}{\sqrt{a}}} = 9\sqrt{2}$

$-a \left(\frac{1}{3}(\frac{3}{\sqrt{a}})^3 - \frac{1}{3}(-\frac{3}{\sqrt{a}})^3 \right) + 9(\frac{6}{\sqrt{a}}) = 9\sqrt{2}$

$-a (\frac{2}{3} (\frac{27}{a\sqrt{a}})) + \frac{54}{\sqrt{a}} = 9\sqrt{2}$

$-\frac{18}{\sqrt{a}} + \frac{54}{\sqrt{a}} = 9\sqrt{2}$

$\frac{36}{\sqrt{a}} = 9\sqrt{2}$

$\sqrt{a} = \frac{36}{9\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$

$a = (2\sqrt{2})^2 = 8$

$b = -2a = -16$

$c = a-9 = 8-9 = -1$

3. 最終的な答え

(1) $S = \frac{32}{3}$、 $k = 2\sqrt[3]{4}-4$

(2) $a=8, b=-16, c=-1$