1から6までの6つの数字を横一列に並べ、$a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6$とする。$a_1+a_2, a_2+a_3, a_3+a_4, a_4+a_5, a_5+a_6$のいずれかのうち最大の数をMとする。以下の問いに答えよ。 (1) M=11となるような並べ方は何通りあるか。 (2) M=11かつ(*)のいずれかが10となるような並べ方は何通りあるか。 (3) M=10となるような並べ方は何通りあるか。 (4) M=10かつ(*)のいずれかが9となるような並べ方は何通りあるか。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

1から6までの6つの数字を横一列に並べ、$a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6$とする。$a_1+a_2, a_2+a_3, a_3+a_4, a_4+a_5, a_5+a_6$のいずれかのうち最大の数をMとする。以下の問いに答えよ。

(1) M=11となるような並べ方は何通りあるか。

(2) M=11かつ(*)のいずれかが10となるような並べ方は何通りあるか。

(3) M=10となるような並べ方は何通りあるか。

(4) M=10かつ(*)のいずれかが9となるような並べ方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) M=11となる場合

$a_i + a_{i+1} = 11$となる組み合わせは、$(5,6), (6,5)$の2通り。

このどちらかが存在すれば良い。

i) $(5,6)$が隣り合う場合

$5,6$をひとまとめにして5つの数字を並べ、その並び方は5!通り。ただし、$5,6$と$6,5$の2通りがあるので、2 * 5! = 2 * 120 = 240通り。

ii) $(6,5)$が隣り合う場合

$6,5$をひとまとめにして5つの数字を並べ、その並び方は5!通り。ただし、$6,5$と$5,6$の2通りがあるので、2 * 5! = 2 * 120 = 240通り。

したがって、M=11となるような並べ方は240通りです。

(2) M=11かつ(*)のいずれかが10となる場合

M=11なので、$(5,6)$または$(6,5)$の組み合わせが存在する。

(*)のいずれかが10になるためには、$(4,6), (6,4)$の組み合わせも必要になる。

$5,6,4$の順、または$4,6,5$の順で並ぶ必要がある。$5,6$と$6,5$、そして$4,6$と$6,4$の組み合わせを考慮する。

$5+6, 6+4$で考える。$5,6,4$または$4,6,5$が必要となる。

$4,6,5$と並ぶ場合、残りの$1,2,3$の並び方を考える。

$4,6,5$をひとまとめにして、４つの要素の並べ替えは4!通り。

$4,6,5$の並び方は1通り。

$5,6$が隣り合う場合、$a_i+a_{i+1}=10$となるのは$(4,6)$か$(6,4)$。

$564$または$465$の並びが必要。

$564$となるのは、3!, $465$となるのは3!

この時、並び方は$3! * 2 = 12$通り

(3) M=10となる場合

まず、全体の並び方は6! = 720通り。

M=11となる場合を除外する。

Mが10以下ということは、どの隣り合う2数の和も10以下。

(4) M=10かつ(*)のいずれかが9となる場合

和が9となる組み合わせは(3,6), (6,3), (4,5), (5,4)。

3. 最終的な答え

(1) 240通り

(2) 12通り

(3) 未解答

(4) 未解答