不定積分 $\int \frac{x+2}{(x-1)^3} dx$ を求める。

1. 問題の内容

不定積分 $\int \frac{x+2}{(x-1)^3} dx$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$x-1 = t$ と置換する。すると、$x = t+1$ および $dx = dt$ となる。

この置換を元の積分に適用すると、

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\int \frac{x+2}{(x-1)^3} dx = \int \frac{(t+1)+2}{t^3} dt = \int \frac{t+3}{t^3} dt

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積分の中身を整理すると、

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\int \frac{t+3}{t^3} dt = \int \left( \frac{t}{t^3} + \frac{3}{t^3} \right) dt = \int \left( \frac{1}{t^2} + \frac{3}{t^3} \right) dt

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それぞれの項を積分すると、

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\int \left( \frac{1}{t^2} + \frac{3}{t^3} \right) dt = \int (t^{-2} + 3t^{-3}) dt = \frac{t^{-1}}{-1} + 3 \cdot \frac{t^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{t} - \frac{3}{2t^2} + C

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ここで、$t = x-1$ を代入して、$x$ の関数に戻すと、

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-\frac{1}{t} - \frac{3}{2t^2} + C = -\frac{1}{x-1} - \frac{3}{2(x-1)^2} + C

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最後に、この式を整理する。

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-\frac{1}{x-1} - \frac{3}{2(x-1)^2} + C = -\frac{2(x-1)}{2(x-1)^2} - \frac{3}{2(x-1)^2} + C = -\frac{2x-2+3}{2(x-1)^2} + C = -\frac{2x+1}{2(x-1)^2} + C

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3. 最終的な答え

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-\frac{2x+1}{2(x-1)^2} + C

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