$a, b$を定数とする。2次方程式 $ax^2 + bx - 6 = 0$ の2つの解が $x = 3, -\frac{2}{3}$ であるとき、$a$と$b$の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a, b$を定数とする。2次方程式 $ax^2 + bx - 6 = 0$ の2つの解が $x = 3, -\frac{2}{3}$ であるとき、$a$と$b$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

解と係数の関係を利用して解く方法と、解を方程式に代入して連立方程式を解く方法があります。ここでは解と係数の関係を利用します。

2つの解を $\alpha, \beta$とすると、$\alpha = 3$, $\beta = -\frac{2}{3}$。

解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = 3 + (-\frac{2}{3}) = \frac{9}{3} - \frac{2}{3} = \frac{7}{3} = -\frac{b}{a}$

$\alpha \beta = 3 \times (-\frac{2}{3}) = -2 = \frac{-6}{a}$

2つ目の式から、$a$を求めます。

$-2 = \frac{-6}{a}$

$a = \frac{-6}{-2} = 3$

求めた$a$を1つ目の式に代入し、$b$を求めます。

$\frac{7}{3} = -\frac{b}{a} = -\frac{b}{3}$

$b = -7$

3. 最終的な答え

$a = 3$

$b = -7$