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与えられた関数 $f(x) = -x^4 + 8x^3 - 18x^2 + 11$ について、 (1) $y=f(x)$ の増減と極値を調べてグラフの概形を描く。 (2) $y=f(x)$ と異なる2点で接する直線の方程式を求める。 (3) $y=f(x)$ と(2)で求めた直線で囲まれた部分の面積を求める。

解析学関数の増減極値グラフの概形接線定積分面積
2025/5/18

1. 問題の内容

与えられた関数 f(x)=−x4+8x3−18x2+11f(x) = -x^4 + 8x^3 - 18x^2 + 11 について、
(1) y=f(x)y=f(x) の増減と極値を調べてグラフの概形を描く。
(2) y=f(x)y=f(x) と異なる2点で接する直線の方程式を求める。
(3) y=f(x)y=f(x) と(2)で求めた直線で囲まれた部分の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 増減と極値を調べるために、まず f′(x)f'(x) を計算する。
f′(x)=−4x3+24x2−36x=−4x(x2−6x+9)=−4x(x−3)2f'(x) = -4x^3 + 24x^2 - 36x = -4x(x^2 - 6x + 9) = -4x(x-3)^2
f′(x)=0f'(x) = 0 となるのは x=0,3x=0, 3 のとき。
増減表は以下のようになる。
| x | ... | 0 | ... | 3 | ... |
|------|-----|---|-----|---|-----|
| f'(x)| + | 0 | - | 0 | - |
| f(x) | ↑ | 11| ↓ | -16| ↓ |
よって、x=0x=0 で極大値 f(0)=11f(0) = 11 をとる。x=3x=3 では極小値を取らない。
グラフの概形は、xx が大きいとき f(x)f(x) は負に大きく、x=0x=0 で極大、x=3x=3 で一旦平らになってまた減少するような形。
(2) y=f(x)y = f(x) と y=ax+by = ax + b が x=α,βx = \alpha, \beta で接するとする。
このとき、−x4+8x3−18x2+11=ax+b-x^4 + 8x^3 - 18x^2 + 11 = ax + b が x=α,βx = \alpha, \beta で重解を持つ。
つまり、−x4+8x3−18x2−ax+(11−b)=−(x−α)2(x−β)2-x^4 + 8x^3 - 18x^2 - ax + (11 - b) = -(x - \alpha)^2 (x - \beta)^2
右辺を展開すると
−(x2−2αx+α2)(x2−2βx+β2)=−(x4−2(α+β)x3+(α2+4αβ+β2)x2−2αβ(α+β)x+α2β2)-(x^2 - 2\alpha x + \alpha^2)(x^2 - 2\beta x + \beta^2) = -(x^4 - 2(\alpha + \beta)x^3 + (\alpha^2 + 4\alpha\beta + \beta^2)x^2 - 2\alpha\beta(\alpha + \beta)x + \alpha^2\beta^2)
係数を比較すると、
2(α+β)=82(\alpha + \beta) = 8
α2+4αβ+β2=−18\alpha^2 + 4\alpha\beta + \beta^2 = -18
2αβ(α+β)=a2\alpha\beta(\alpha + \beta) = a
α2β2=−(11−b)\alpha^2\beta^2 = -(11 - b)
α+β=4\alpha + \beta = 4
α2+2αβ+β2+2αβ=−18\alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2 + 2\alpha\beta = -18
(α+β)2+2αβ=−18(\alpha + \beta)^2 + 2\alpha\beta = -18
16+2αβ=−1816 + 2\alpha\beta = -18
2αβ=−342\alpha\beta = -34
αβ=−17\alpha\beta = -17
α+β=4,αβ=−17\alpha + \beta = 4, \alpha\beta = -17 より、α,β\alpha, \beta は t2−4t−17=0t^2 - 4t - 17 = 0 の解。
t=4±16+682=4±842=2±21t = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 68}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{84}}{2} = 2 \pm \sqrt{21}
a=2αβ(α+β)=2(−17)(4)=−136a = 2\alpha\beta(\alpha + \beta) = 2(-17)(4) = -136
b=11+α2β2=11+(−17)2=11+289=300b = 11 + \alpha^2\beta^2 = 11 + (-17)^2 = 11 + 289 = 300
よって求める直線の方程式は y=−136x+300y = -136x + 300
(3) 求める面積は
∫αβ(f(x)−(ax+b))dx=∫αβ−(x−α)2(x−β)2dx=−∫αβ(x−α)2(x−β)2dx\int_{\alpha}^{\beta} (f(x) - (ax + b)) dx = \int_{\alpha}^{\beta} -(x - \alpha)^2(x - \beta)^2 dx = -\int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)^2(x - \beta)^2 dx
=∫αβ(x−α)2(β−x)2dx= \int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)^2 (\beta - x)^2 dx
x−α=(β−α)ux - \alpha = (\beta - \alpha)u と置換すると x=α+(β−α)ux = \alpha + (\beta - \alpha)u であり、dx=(β−α)dudx = (\beta - \alpha)du
また、x=αx = \alpha のとき u=0u = 0, x=βx = \beta のとき u=1u = 1
β−x=β−(α+(β−α)u)=(β−α)−(β−α)u=(β−α)(1−u)\beta - x = \beta - (\alpha + (\beta - \alpha)u) = (\beta - \alpha) - (\beta - \alpha)u = (\beta - \alpha)(1 - u)
∫01((β−α)u)2((β−α)(1−u))2(β−α)du=(β−α)5∫01u2(1−u)2du\int_0^1 ((\beta - \alpha)u)^2 ((\beta - \alpha)(1-u))^2 (\beta - \alpha)du = (\beta - \alpha)^5 \int_0^1 u^2(1 - u)^2 du
=(β−α)5∫01(u2−2u3+u4)du=(β−α)5[13u3−12u4+15u5]01= (\beta - \alpha)^5 \int_0^1 (u^2 - 2u^3 + u^4) du = (\beta - \alpha)^5 [\frac{1}{3}u^3 - \frac{1}{2}u^4 + \frac{1}{5}u^5]_0^1
=(β−α)5(13−12+15)=(β−α)5(10−15+630)=130(β−α)5= (\beta - \alpha)^5 (\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{5}) = (\beta - \alpha)^5 (\frac{10 - 15 + 6}{30}) = \frac{1}{30}(\beta - \alpha)^5
α=2−21,β=2+21\alpha = 2 - \sqrt{21}, \beta = 2 + \sqrt{21} なので β−α=221\beta - \alpha = 2\sqrt{21}
よって、面積は 130(221)5=13025(21)5=3230(21221)=1615(44121)=70561521=2352521\frac{1}{30} (2\sqrt{21})^5 = \frac{1}{30} 2^5 (\sqrt{21})^5 = \frac{32}{30} (21^2\sqrt{21}) = \frac{16}{15} (441\sqrt{21}) = \frac{7056}{15}\sqrt{21} = \frac{2352}{5}\sqrt{21}

3. 最終的な答え

(1) グラフの概形は上記参照
(2) y=−136x+300y = -136x + 300
(3) 2352521\frac{2352}{5}\sqrt{21}

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