与えられた等式 $x^2 - 9y^2 = 133$ を満たす自然数 $x, y$ の組をすべて求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた等式 $x^2 - 9y^2 = 133$ を満たす自然数 $x, y$ の組をすべて求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた等式を因数分解します。

$x^2 - 9y^2 = x^2 - (3y)^2$ なので、これは $(x - 3y)(x + 3y)$ と因数分解できます。したがって、

$(x - 3y)(x + 3y) = 133$

$133$ を素因数分解すると、$133 = 7 \times 19$ となります。

$x$ と $y$ は自然数なので、$x + 3y$ は正の整数であり、$x > 0$ かつ $y > 0$ より、$x + 3y > x - 3y$ です。

よって、$(x - 3y)$ と $(x + 3y)$ の組み合わせは、以下の2つの場合が考えられます。

(i) $x - 3y = 1$ かつ $x + 3y = 133$

(ii) $x - 3y = 7$ かつ $x + 3y = 19$

それぞれの場合について、$x$ と $y$ を求めます。

(i) の場合、

$x - 3y = 1$ と $x + 3y = 133$ を足し合わせると、

$2x = 134$

$x = 67$

$x = 67$ を $x - 3y = 1$ に代入すると、

$67 - 3y = 1$

$3y = 66$

$y = 22$

したがって、$(x, y) = (67, 22)$

(ii) の場合、

$x - 3y = 7$ と $x + 3y = 19$ を足し合わせると、

$2x = 26$

$x = 13$

$x = 13$ を $x - 3y = 7$ に代入すると、

$13 - 3y = 7$

$3y = 6$

$y = 2$

したがって、$(x, y) = (13, 2)$

以上より、条件を満たす自然数 $x, y$ の組は、$(67, 22)$ と $(13, 2)$ です。

3. 最終的な答え

$(x, y) = (67, 22), (13, 2)$