定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^2 x \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^2 x \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$\tan^2 x$ を別の関数で書き換えます。

三角関数の恒等式 $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$ を用いると、$\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ となります。

したがって、与えられた積分は次のように書き換えられます。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^2 x \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\sec^2 x - 1) \, dx$

積分を分割します。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\sec^2 x - 1) \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sec^2 x \, dx - \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 1 \, dx$

$\sec^2 x$ の原始関数は $\tan x$ であり、$1$ の原始関数は $x$ であることを利用して積分を計算します。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sec^2 x \, dx = \left[ \tan x \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \tan \frac{\pi}{4} - \tan 0 = 1 - 0 = 1$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 1 \, dx = \left[ x \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$

したがって、元の積分は次のようになります。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^2 x \, dx = 1 - \frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

$1 - \frac{\pi}{4}$