$x + y = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{7}}{2} = \sqrt{7}$ $xy = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{2} = \frac{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2}{4} = \frac{7 - 3}{4} = \frac{4}{4} = 1$

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1. 問題の内容

画像の問題は全部で5問ありますが、ここでは一番上の問題(1)を解きます。

問題：

$x = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{2}$、 $y = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{2}$ のとき、$x^2 + xy + y^2$ の値を求めよ。

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2. 解き方の手順

1. $x+y$ と $xy$ の値を計算する。

$x + y = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{7}}{2} = \sqrt{7}$

$xy = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{2} = \frac{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2}{4} = \frac{7 - 3}{4} = \frac{4}{4} = 1$

2. $x^2 + xy + y^2$ を $(x+y)^2 - xy$ の形に変形する。

$x^2 + xy + y^2 = x^2 + 2xy + y^2 - xy = (x+y)^2 - xy$

3. $(x+y)^2 - xy$ に $x+y = \sqrt{7}$ と $xy = 1$ を代入する。

$(x+y)^2 - xy = (\sqrt{7})^2 - 1 = 7 - 1 = 6$

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3. 最終的な答え

$x^2 + xy + y^2 = 6$