(4) ある整数 $x$ を3倍した数と、$x$ から1を引いて2倍した数を加えた数が、10以上30以下であるような $x$ の個数を求める。 (5) 実数全体を全体集合とし、その部分集合 $A$, $B$ を $A = \{x \mid x \le -1, 8 < x \}$, $B = \{x \mid |x| > 3 \}$ とする。このとき、集合 $A \cup \overline{B}$ に含まれる整数の個数を求める。

1. 問題の内容

(4) ある整数 $x$ を3倍した数と、$x$ から1を引いて2倍した数を加えた数が、10以上30以下であるような $x$ の個数を求める。

(5) 実数全体を全体集合とし、その部分集合 $A$, $B$ を $A = \{x \mid x \le -1, 8 < x \}$, $B = \{x \mid |x| > 3 \}$ とする。このとき、集合 $A \cup \overline{B}$ に含まれる整数の個数を求める。

2. 解き方の手順

(4)

3倍した数と、$x$ から1を引いて2倍した数を加えた数は、

$3x + 2(x - 1) = 3x + 2x - 2 = 5x - 2$

これが10以上30以下なので、

$10 \le 5x - 2 \le 30$

$12 \le 5x \le 32$

$\frac{12}{5} \le x \le \frac{32}{5}$

$2.4 \le x \le 6.4$

$x$ は整数なので、$x = 3, 4, 5, 6$

したがって、4個

(5)

$A = \{ x \mid x \le -1, 8 < x \}$

$B = \{ x \mid |x| > 3 \} = \{ x \mid x < -3, 3 < x \}$

$\overline{B} = \{ x \mid |x| \le 3 \} = \{ x \mid -3 \le x \le 3 \}$

$A \cup \overline{B} = \{ x \mid x \le -1, 8 < x \} \cup \{ x \mid -3 \le x \le 3 \}$

$A \cup \overline{B} = \{ x \mid x \le 3, 8 < x \}$

$A \cup \overline{B}$ に含まれる整数は、

$\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 9, 10, 11, \dots$

$A \cup \overline{B} = (-\infty, 3] \cup (8, \infty)$.

したがって、$A \cup \overline{B}$ に含まれる整数は、

$x \le 3$ または $x > 8$ を満たす整数。

整数は $\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 9, 10, 11, \dots$

整数は無限に存在するので、整数は全部で無限個。

3. 最終的な答え

(4) 4

(5) 無限