全体集合 $U$ の部分集合 $A$, $B$ について、$A \subset B$ のとき、次の集合を求めよ。 (1) $A \cap B$ (2) $A \cup B$ (3) $A \cap \overline{B}$

1. 問題の内容

全体集合 $U$ の部分集合 $A$, $B$ について、$A \subset B$ のとき、次の集合を求めよ。

(1) $A \cap B$

(2) $A \cup B$

(3) $A \cap \overline{B}$

2. 解き方の手順

$A \subset B$ は、$A$ が $B$ の部分集合であることを意味する。つまり、$A$ のすべての要素は $B$ の要素でもある。

(1) $A \cap B$ は、$A$ と $B$ の共通部分である。$A \subset B$ なので、$A$ のすべての要素は $B$ に含まれている。したがって、$A$ と $B$ の共通部分は $A$ そのものである。

$A \cap B = A$

(2) $A \cup B$ は、$A$ と $B$ の和集合である。$A \subset B$ なので、$A$ のすべての要素は $B$ に含まれている。したがって、$A$ と $B$ の和集合は $B$ そのものである。

$A \cup B = B$

(3) $A \cap \overline{B}$ は、$A$ と $B$ の補集合 $\overline{B}$ の共通部分である。$A \subset B$ なので、$A$ の要素はすべて $B$ に含まれる。したがって、$A$ の要素は $\overline{B}$ に含まれない。よって、$A$ と $\overline{B}$ の共通部分は空集合になる。

$A \cap \overline{B} = \emptyset$

3. 最終的な答え

(1) $A \cap B = A$

(2) $A \cup B = B$

(3) $A \cap \overline{B} = \emptyset$