M大学のA, B, C, D, Eの5人の年間旅行回数が与えられています。最初の旅行回数に2を足したり、3をかけたり、5を引いたり、2で割ったりといった処理を行った後の平均値と標準偏差を求め、それらの変化を一般化します。

1. 問題の内容

M大学のA, B, C, D, Eの5人の年間旅行回数が与えられています。最初の旅行回数に2を足したり、3をかけたり、5を引いたり、2で割ったりといった処理を行った後の平均値と標準偏差を求め、それらの変化を一般化します。

2. 解き方の手順

データ①の平均値、分散、標準偏差を求めます。

平均値:

$\frac{2+4+5+6+8}{5} = \frac{25}{5} = 5$

各データの偏差は、データから平均値を引いたものです。

A: 2 - 5 = -3

B: 4 - 5 = -1

C: 5 - 5 = 0

D: 6 - 5 = 1

E: 8 - 5 = 3

偏差の二乗は以下の通りです。

A: (-3)^2 = 9

B: (-1)^2 = 1

C: 0^2 = 0

D: 1^2 = 1

E: 3^2 = 9

偏差の二乗の平均値が分散です。

分散:

$\frac{9+1+0+1+9}{5} = \frac{20}{5} = 4$

標準偏差は分散の平方根です。

標準偏差:

$\sqrt{4} = 2$

同様の手順でデータ②とデータ③について、平均値、分散、標準偏差を計算します。

データ②

A: 2 + 2 = 4

B: 4 + 2 = 6

C: 5 + 2 = 7

D: 6 + 2 = 8

E: 8 + 2 = 10

平均値:

$\frac{4+6+7+8+10}{5} = \frac{35}{5} = 7$

A: 4 - 7 = -3

B: 6 - 7 = -1

C: 7 - 7 = 0

D: 8 - 7 = 1

E: 10 - 7 = 3

A: (-3)^2 = 9

B: (-1)^2 = 1

C: 0^2 = 0

D: 1^2 = 1

E: 3^2 = 9

分散:

$\frac{9+1+0+1+9}{5} = \frac{20}{5} = 4$

標準偏差:

$\sqrt{4} = 2$

データ③

A: 2 * 3 = 6

B: 4 * 3 = 12

C: 5 * 3 = 15

D: 6 * 3 = 18

E: 8 * 3 = 24

平均値:

$\frac{6+12+15+18+24}{5} = \frac{75}{5} = 15$

A: 6 - 15 = -9

B: 12 - 15 = -3

C: 15 - 15 = 0

D: 18 - 15 = 3

E: 24 - 15 = 9

A: (-9)^2 = 81

B: (-3)^2 = 9

C: 0^2 = 0

D: 3^2 = 9

E: 9^2 = 81

分散:

$\frac{81+9+0+9+81}{5} = \frac{180}{5} = 36$

標準偏差:

$\sqrt{36} = 6$

データ④の平均値、分散、標準偏差を求めます。

平均値:

$\frac{-3+(-1)+0+1+3}{5} = \frac{0}{5} = 0$

A: -3 - 0 = -3

B: -1 - 0 = -1

C: 0 - 0 = 0

D: 1 - 0 = 1

E: 3 - 0 = 3

A: (-3)^2 = 9

B: (-1)^2 = 1

C: 0^2 = 0

D: 1^2 = 1

E: 3^2 = 9

分散:

$\frac{9+1+0+1+9}{5} = \frac{20}{5} = 4$

標準偏差:

$\sqrt{4} = 2$

データ⑤の平均値、分散、標準偏差を求めます。

平均値:

$\frac{1+2+2.5+3+4}{5} = \frac{12.5}{5} = 2.5$

A: 1 - 2.5 = -1.5

B: 2 - 2.5 = -0.5

C: 2.5 - 2.5 = 0

D: 3 - 2.5 = 0.5

E: 4 - 2.5 = 1.5

A: (-1.5)^2 = 2.25

B: (-0.5)^2 = 0.25

C: 0^2 = 0

D: 0.5^2 = 0.25

E: 1.5^2 = 2.25

分散:

$\frac{2.25+0.25+0+0.25+2.25}{5} = \frac{5}{5} = 1$

標準偏差:

$\sqrt{1} = 1$

データ⑥の平均値、分散、標準偏差を求めます。

平均値:

$\frac{-1.5+(-0.5)+0+0.5+1.5}{5} = \frac{0}{5} = 0$

A: -1.5 - 0 = -1.5

B: -0.5 - 0 = -0.5

C: 0 - 0 = 0

D: 0.5 - 0 = 0.5

E: 1.5 - 0 = 1.5

A: (-1.5)^2 = 2.25

B: (-0.5)^2 = 0.25

C: 0^2 = 0

D: 0.5^2 = 0.25

E: 1.5^2 = 2.25

分散:

$\frac{2.25+0.25+0+0.25+2.25}{5} = \frac{5}{5} = 1$

標準偏差:

$\sqrt{1} = 1$

すべてのデータに2を加えると、平均値は 7 回、標準偏差は 2 回になる。

すべてのデータを3倍にすると、平均値は 15 回、標準偏差は 6 回になる。

すべてのデータから平均5を引くと、平均値は 0 回、標準偏差は 2 回になる。

すべてのデータを標準偏差の2で割ると、平均値は 2.5 回、標準偏差は 1 回になる。

すべてのデータから平均値の5を引き、さらに標準偏差の2で割ったデータの平均値は 0 回、標準偏差は 1 回になる。

(1) データに一定数aを加えると、平均値は + a 、標準偏差は 変わらない。

(2) データに一定数kを掛けて加工すると平均値は * k 、標準偏差は * k。

3. 最終的な答え

データ①

平均値: 5

分散: 4

標準偏差: 2

データ②

平均値: 7

分散: 4

標準偏差: 2

データ③

平均値: 15

分散: 36

標準偏差: 6

データ④

平均値: 0

分散: 4

標準偏差: 2

データ⑤

平均値: 2.5

分散: 1

標準偏差: 1

データ⑥

平均値: 0

分散: 1

標準偏差: 1

すべてのデータに2を加えると、平均値は7回、標準偏差は2回になる。

すべてのデータを3倍にすると、平均値は15回、標準偏差は6回になる。

すべてのデータから平均5を引くと、平均値は0回、標準偏差は2回になる。

すべてのデータを標準偏差の2で割ると、平均値は2.5回、標準偏差は1回になる。

すべてのデータから平均値の5を引き、さらに標準偏差の2で割ったデータの平均値は0回、標準偏差は1回になる。

(1) データに一定数aを加えると、平均値は+a、標準偏差は変わらない。

(2) データに一定数kを掛けて加工すると平均値は*k、標準偏差は*k。