関数 $tan^{-1}\sqrt{x}$ を微分せよ。そして、選択肢の中から正しいものを選べ。

1. 問題の内容

関数 $tan^{-1}\sqrt{x}$ を微分せよ。そして、選択肢の中から正しいものを選べ。

2. 解き方の手順

まず、$y = tan^{-1}\sqrt{x}$ とおく。

$y$ を $x$ で微分するには、合成関数の微分法を用いる。

$u = \sqrt{x}$ とおくと、$y = tan^{-1}u$ となる。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$y = tan^{-1}u$ の微分は、

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{1+u^2}$

$u = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ の微分は、

$\frac{du}{dx} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+u^2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$u = \sqrt{x}$ を代入すると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+(\sqrt{x})^2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{1+x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)}$ なので、選択肢の5が正しい。