次の不定積分を求めます。 $\int \frac{1}{(1-x)^2} dx$

1. 問題の内容

次の不定積分を求めます。

$\int \frac{1}{(1-x)^2} dx$

2. 解き方の手順

変数変換を行います。

$u = 1-x$ とすると、$\frac{du}{dx} = -1$ より、$dx = -du$ となります。

したがって、積分は次のようになります。

$\int \frac{1}{(1-x)^2} dx = \int \frac{1}{u^2} (-du) = -\int u^{-2} du$

次に、$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ という積分公式を使います。

$-\int u^{-2} du = - \frac{u^{-1}}{-1} + C = \frac{1}{u} + C$

ここで、$u = 1-x$ を代入すると、

$\frac{1}{u} + C = \frac{1}{1-x} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{1-x} + C$