微分方程式 $y' = \frac{1}{x}$ の一般解を求めよ。

## 問題4

1. 問題の内容

微分方程式 $y' = \frac{1}{x}$ の一般解を求めよ。

2. 解き方の手順

$y'$ は $y$ の $x$ に関する導関数を表すので、与えられた微分方程式は

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}$

と書ける。両辺を $x$ で積分すると、

$\int \frac{dy}{dx} dx = \int \frac{1}{x} dx$

左辺は $\int dy = y + C_1$ となる。

右辺は $\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C_2$ となる。

ここで $C_1$ と $C_2$ は積分定数である。

したがって、

$y + C_1 = \ln |x| + C_2$

$y = \ln |x| + C_2 - C_1$

$C = C_2 - C_1$ と置くと、

$y = \ln |x| + C$

が一般解となる。

3. 最終的な答え

$y = \ln |x| + C$

## 問題5

1. 問題の内容

微分方程式 $y' = x$ の一般解を求めよ。

2. 解き方の手順

$y'$ は $y$ の $x$ に関する導関数を表すので、与えられた微分方程式は

$\frac{dy}{dx} = x$

と書ける。両辺を $x$ で積分すると、

$\int \frac{dy}{dx} dx = \int x dx$

左辺は $\int dy = y + C_1$ となる。

右辺は $\int x dx = \frac{1}{2}x^2 + C_2$ となる。

ここで $C_1$ と $C_2$ は積分定数である。

したがって、

$y + C_1 = \frac{1}{2}x^2 + C_2$

$y = \frac{1}{2}x^2 + C_2 - C_1$

$C = C_2 - C_1$ と置くと、

$y = \frac{1}{2}x^2 + C$

が一般解となる。

3. 最終的な答え

$y = \frac{1}{2}x^2 + C$