画像には「なぜ逆三角関数や対数関数は定義できるのか？」という問いが書かれています。

1. 問題の内容

画像には「なぜ逆三角関数や対数関数は定義できるのか？」という問いが書かれています。

2. 解き方の手順

この質問は、逆関数が存在するための条件と、三角関数と対数関数がその条件を満たす理由について問うています。

* **逆関数の存在条件**: 関数 $f(x)$ の逆関数が存在するためには、$f(x)$ が全単射である必要があります。全単射とは、単射（異なる $x$ に対して異なる $f(x)$ の値をとる）かつ全射（値域が終域全体と一致する）であることです。

* **三角関数の場合**: 三角関数（例えば、$\sin(x)$、$\cos(x)$、$\tan(x)$）は、定義域全体では周期関数であり、単射ではありません。そのため、逆関数を定義するためには、定義域を制限する必要があります。例えば、$\sin(x)$ の逆関数である$\arcsin(x)$（または $\sin^{-1}(x)$）は、定義域を $[-\pi/2, \pi/2]$ に制限することで定義されます。この制限された範囲で$\sin(x)$は単射となり、全射性も満たされるので、逆関数が存在できます。同様に、他の三角関数も適切な定義域を制限することで逆関数が定義できます。

* **対数関数の場合**: 対数関数（例えば、$\log(x)$）は、指数関数（例えば、$e^x$）の逆関数として定義されます。指数関数は単射であり、正の実数全体の値域を持つため、対数関数は定義できます。より厳密には、$y = a^x$に対して、$a > 0$ かつ $a \ne 1$のとき、$y > 0$に対して$x = \log_a y$が一意に定まります。

3. 最終的な答え

逆三角関数や対数関数が定義できるのは、もとの関数である三角関数や指数関数の定義域を適切に制限し、それによって全単射関数とすることで、逆関数が存在するための条件（全単射性）を満たすようにしているからです。