逆三角関数や対数関数はなぜ定義できるのかを、逆関数の定義を使って説明する。

1. 問題の内容

逆三角関数や対数関数はなぜ定義できるのかを、逆関数の定義を使って説明する。

2. 解き方の手順

逆関数の定義を理解することが重要です。関数 $f(x)$ の逆関数 $f^{-1}(x)$ が存在するための必要十分条件は、$f(x)$ が全単射であることです。全単射とは、単射（異なる入力に対して異なる出力）であり、かつ全射（すべての出力値に対して少なくとも1つの入力値が存在する）であることです。

* **対数関数の場合：**

指数関数 $y = a^x$ （$a>0$, $a \neq 1$）を考えます。この関数は、$x$ の任意の値に対して $y > 0$ を満たし、単調増加または単調減少します（$a$ の値によります）。したがって、指数関数は全単射であり、逆関数を持ちます。この逆関数が対数関数 $x = \log_a y$ です。$x$ と $y$ を入れ替えて $y = \log_a x$ と表記するのが一般的です。

すなわち、

$f(x) = a^x$ に対して、$f^{-1}(x) = \log_a x$ が存在します。

* **逆三角関数の場合：**

三角関数（例えば、$y = \sin x$）は、その定義域全体では単射ではありません。例えば、$\sin(0) = \sin(\pi) = 0$ です。しかし、三角関数の定義域を適切に制限することで、単射にすることができます。

例えば、$y = \sin x$ の定義域を $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ に制限すると、$y = \sin x$ は全単射になります。このとき、逆関数が存在し、それを逆正弦関数（arcsin または $\sin^{-1}$) といいます。つまり、

$f(x) = \sin x$ （$-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}$）に対して、$f^{-1}(x) = \arcsin x$ が存在します。

同様に、他の逆三角関数（arccos, arctanなど）も、適切な定義域の制限のもとで定義されます。

3. 最終的な答え

対数関数は、指数関数の逆関数として定義され、指数関数が全単射であることから定義できます。逆三角関数は、三角関数の定義域を適切に制限することで全単射にし、その逆関数として定義できます。