与えられた関数や条件に対して、空欄を埋める問題です。具体的には、 1. $y = e^{\alpha x}$ が $y'' - 4y' - 21y = 0$ を満たすときの定数 $\alpha$ の値を求める。

1. 問題の内容

与えられた関数や条件に対して、空欄を埋める問題です。具体的には、

1. $y = e^{\alpha x}$ が $y'' - 4y' - 21y = 0$ を満たすときの定数 $\alpha$ の値を求める。

2. $f(x) = (\log|x^2-2|)^2$ について、$f'(x) = 0$ の解を求める。

3. $y = e^{-3x}$ の接線で原点 $(0, 0)$ を通るものを求める。

4. $y = \log(\sqrt{7}x)$ の接線で原点 $(0, 0)$ を通るものを求める。

5. $y = \sqrt{e} \cdot e^{-\frac{1}{2}x^2}$ のグラフの変曲点を求める。

6. $y = \sqrt{e} \cdot e^{-\frac{1}{2}x^2}$ のグラフが単調減少である $x$ の範囲を求める。

7. $y = \sqrt{e} \cdot e^{-\frac{1}{2}x^2}$ のグラフが上に凸で、単調増加である $x$ の範囲を求める。

2. 解き方の手順

1. $y = e^{\alpha x}$ に対して、$y' = \alpha e^{\alpha x}$, $y'' = \alpha^2 e^{\alpha x}$ を計算する。これらを $y'' - 4y' - 21y = 0$ に代入すると、

$$(\alpha^2 - 4\alpha - 21)e^{\alpha x} = 0$$

$e^{\alpha x} \neq 0$ より、$\alpha^2 - 4\alpha - 21 = 0$。これを解くと、$(\alpha - 7)(\alpha + 3) = 0$ より、$\alpha = 7, -3$。

2. $f(x) = (\log|x^2-2|)^2$ に対して、$f'(x)$ を計算する。

$$f'(x) = 2(\log|x^2-2|) \cdot \frac{1}{|x^2-2|} \cdot \frac{2x|x^2-2|}{x^2-2} = \frac{4x \log|x^2-2|}{x^2-2}$$

$f'(x) = 0$ より、$x = 0$ または $\log|x^2-2| = 0$。$\log|x^2-2| = 0$ のとき、$|x^2-2| = 1$。

$x^2 - 2 = 1$ のとき、$x^2 = 3$ より $x = \pm \sqrt{3}$。

$x^2 - 2 = -1$ のとき、$x^2 = 1$ より $x = \pm 1$。

したがって、$f'(x) = 0$ の解は $x = 0, \pm 1, \pm \sqrt{3}$。

3. $y = e^{-3x}$ の接線を $y = ax + b$ とおく。接点の $x$ 座標を $t$ とすると、接線の傾きは $y' = -3e^{-3x}$ より $-3e^{-3t}$。接線は点 $(t, e^{-3t})$ を通るので、

$e^{-3t} = -3e^{-3t}t + b$ より $b = e^{-3t} + 3te^{-3t}$。したがって、接線は

$y = -3e^{-3t}x + e^{-3t} + 3te^{-3t}$ と表せる。この接線が原点 $(0, 0)$ を通るので、

$0 = e^{-3t} + 3te^{-3t}$。$e^{-3t} > 0$ より $1 + 3t = 0$, $t = -\frac{1}{3}$。

接線は $y = -3e^{1}x + e^{1} - e^{1} = -3ex + 0e^{1} = -3ex$。よって$-3e$。

4. $y = \log(\sqrt{7}x) = \frac{1}{2} \log(7x^2)$ の接線を $y = ax + b$ とおく。接点の $x$ 座標を $t$ とすると、接線の傾きは $y' = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{7x^2} \cdot 14x = \frac{1}{x}$ より $\frac{1}{t}$。接線は点 $(t, \log(\sqrt{7}t))$ を通るので、

$\log(\sqrt{7}t) = \frac{1}{t}t + b$ より $b = \log(\sqrt{7}t) - 1$。したがって、接線は

$y = \frac{1}{t}x + \log(\sqrt{7}t) - 1$ と表せる。この接線が原点 $(0, 0)$ を通るので、

$0 = \log(\sqrt{7}t) - 1$。$\log(\sqrt{7}t) = 1$ より $\sqrt{7}t = e$, $t = \frac{e}{\sqrt{7}}$。

接線は $y = \frac{\sqrt{7}}{e}x + 1 - 1 = \frac{\sqrt{7}}{e}x$。

5. $y = \sqrt{e}e^{-\frac{1}{2}x^2} = e^{\frac{1}{2}} e^{-\frac{1}{2}x^2} = e^{\frac{1}{2}(1 - x^2)}$

$y' = e^{\frac{1}{2}(1 - x^2)} \cdot \frac{1}{2} (-2x) = -xe^{\frac{1}{2}(1 - x^2)}$

$y'' = -e^{\frac{1}{2}(1 - x^2)} - x e^{\frac{1}{2}(1 - x^2)} \cdot (-x) = (-1 + x^2) e^{\frac{1}{2}(1 - x^2)}$

$y'' = 0$ となるのは $x = \pm 1$ のとき。変曲点は $(\pm 1, 1)$

6. 単調減少となるのは $y' < 0$ となるとき。$y' = -xe^{\frac{1}{2}(1 - x^2)}$ より $-x < 0$ なので、$x > 0$。

7. 上に凸とは $y'' < 0$ となるとき。$y'' = (-1 + x^2) e^{\frac{1}{2}(1 - x^2)}$ より $-1 + x^2 < 0$ なので、$x^2 < 1$ より $-1 < x < 1$。

単調増加とは $y' > 0$ となるとき。$y' = -xe^{\frac{1}{2}(1 - x^2)}$ より $-x > 0$ なので、$x < 0$。

よって $-1 < x < 0$。

3. 最終的な答え

問1: 7, -3

問2: 7, 3

問3: -3

問4: $\frac{\sqrt{7}}{e}$

問5: (0)

問6: (7)

問7: (4)