直角三角形ABCにおいて、辺AC = 2、辺BC = 4である。 角B、角Aの正弦(sin)、余弦(cos)、正接(tan)の値をそれぞれ求める。 また、0°<θ<90°において、sinθ = 1/3のときの、cosθとtanθの値を求める。

1. 問題の内容

直角三角形ABCにおいて、辺AC = 2、辺BC = 4である。

角B、角Aの正弦(sin)、余弦(cos)、正接(tan)の値をそれぞれ求める。

また、0°<θ<90°において、sinθ = 1/3のときの、cosθとtanθの値を求める。

2. 解き方の手順

(4)

まず、三平方の定理を用いて辺ABの長さを求める。

$AB^2 = AC^2 + BC^2$

$AB^2 = 2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20$

$AB = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

角Bについて

$\sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{2}{2\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

$\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{4}{2\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

$\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

角Aについて

$\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{4}{2\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

$\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{2}{2\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

$\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{4}{2} = 2$

(5)

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$という公式を用いる。

$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - (\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

$\cos \theta = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{1/3}{2\sqrt{2}/3} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$

3. 最終的な答え

(4)

$\sin B = \frac{\sqrt{5}}{5}$

$\cos B = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

$\tan B = \frac{1}{2}$

$\sin A = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

$\cos A = \frac{\sqrt{5}}{5}$

$\tan A = 2$

(5)

$\cos \theta = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\tan \theta = \frac{\sqrt{2}}{4}$