関数 $f(x) = \frac{\log x}{x^a}$ が与えられています。ただし、$a$ は実定数です。 (1) 関数 $f(x)$ が区間 $(0, 1]$ 上で広義積分可能となる $a$ の条件を求め、可能な場合の広義積分 $\int_0^1 f(x) dx$ の値を求めます。 (2) 関数 $f(x)$ が区間 $[1, \infty)$ 上で広義積分可能となる $a$ の条件を求め、可能な場合の広義積分 $\int_1^\infty f(x) dx$ の値を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{\log x}{x^a}$ が与えられています。ただし、$a$ は実定数です。

(1) 関数 $f(x)$ が区間 $(0, 1]$ 上で広義積分可能となる $a$ の条件を求め、可能な場合の広義積分 $\int_0^1 f(x) dx$ の値を求めます。

(2) 関数 $f(x)$ が区間 $[1, \infty)$ 上で広義積分可能となる $a$ の条件を求め、可能な場合の広義積分 $\int_1^\infty f(x) dx$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 区間 $(0, 1]$ 上での広義積分可能性について：

$x \to 0$ で $\log x \to -\infty$ となるため、$x=0$ で広義積分を考えます。

$\int_0^1 \frac{\log x}{x^a} dx = \lim_{\epsilon \to 0} \int_\epsilon^1 \frac{\log x}{x^a} dx$

部分積分を用いて積分を計算します。

$u = \log x$, $dv = x^{-a} dx$ とすると、

$du = \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{x^{1-a}}{1-a}$ （$a \neq 1$ のとき）

$\int \frac{\log x}{x^a} dx = \frac{x^{1-a}}{1-a} \log x - \int \frac{x^{1-a}}{1-a} \frac{1}{x} dx = \frac{x^{1-a}}{1-a} \log x - \frac{1}{1-a} \int x^{-a} dx$

$= \frac{x^{1-a}}{1-a} \log x - \frac{1}{1-a} \frac{x^{1-a}}{1-a} = \frac{x^{1-a}}{1-a} \log x - \frac{x^{1-a}}{(1-a)^2}$

$\int_\epsilon^1 \frac{\log x}{x^a} dx = \left[ \frac{x^{1-a}}{1-a} \log x - \frac{x^{1-a}}{(1-a)^2} \right]_\epsilon^1 = -\frac{1}{(1-a)^2} - \left( \frac{\epsilon^{1-a}}{1-a} \log \epsilon - \frac{\epsilon^{1-a}}{(1-a)^2} \right)$

$\lim_{\epsilon \to 0} \epsilon^{1-a} \log \epsilon$ を考えます。これは $1-a > 0$ (つまり $a < 1$) のとき 0 に収束します。

$\lim_{\epsilon \to 0} \epsilon^{1-a}$ は $1-a > 0$ (つまり $a < 1$) のとき 0 に収束します。

したがって、$a < 1$ のとき、積分は収束し、

$\int_0^1 \frac{\log x}{x^a} dx = -\frac{1}{(1-a)^2}$

$a = 1$ のとき、

$\int \frac{\log x}{x} dx = \frac{1}{2} (\log x)^2$

$\int_\epsilon^1 \frac{\log x}{x} dx = \left[ \frac{1}{2} (\log x)^2 \right]_\epsilon^1 = 0 - \frac{1}{2} (\log \epsilon)^2$

$\lim_{\epsilon \to 0} (\log \epsilon)^2 = \infty$ であるため、$a = 1$ のとき積分は発散します。

$a > 1$ のとき、$1-a < 0$ となり、$\lim_{\epsilon \to 0} \epsilon^{1-a} = \infty$ となり、積分は発散します。

(2) 区間 $[1, \infty)$ 上での広義積分可能性について：

$\int_1^\infty \frac{\log x}{x^a} dx = \lim_{R \to \infty} \int_1^R \frac{\log x}{x^a} dx$

(1) と同様に部分積分を用いると、$a \neq 1$ のとき、

$\int_1^R \frac{\log x}{x^a} dx = \left[ \frac{x^{1-a}}{1-a} \log x - \frac{x^{1-a}}{(1-a)^2} \right]_1^R = \frac{R^{1-a}}{1-a} \log R - \frac{R^{1-a}}{(1-a)^2} - \left( 0 - \frac{1}{(1-a)^2} \right)$

$= \frac{R^{1-a}}{1-a} \log R - \frac{R^{1-a}}{(1-a)^2} + \frac{1}{(1-a)^2}$

$\lim_{R \to \infty} R^{1-a} \log R$ が収束するためには、$1-a < 0$ (つまり $a > 1$) である必要があります。

$a > 1$ のとき、$\lim_{R \to \infty} R^{1-a} \log R = 0$

したがって、$a > 1$ のとき、

$\int_1^\infty \frac{\log x}{x^a} dx = \frac{1}{(a-1)^2}$

$a = 1$ のとき、

$\int_1^R \frac{\log x}{x} dx = \left[ \frac{1}{2} (\log x)^2 \right]_1^R = \frac{1}{2} (\log R)^2 - 0 = \frac{1}{2} (\log R)^2$

$\lim_{R \to \infty} (\log R)^2 = \infty$ であるため、$a = 1$ のとき積分は発散します。

$a < 1$ のとき、$1-a > 0$ となり、$\lim_{R \to \infty} R^{1-a} = \infty$ となり、積分は発散します。

3. 最終的な答え

(1) $a < 1$ のとき広義積分可能であり、$\int_0^1 \frac{\log x}{x^a} dx = -\frac{1}{(1-a)^2}$

(2) $a > 1$ のとき広義積分可能であり、$\int_1^\infty \frac{\log x}{x^a} dx = \frac{1}{(a-1)^2}$