与えられた微分方程式の一般解および初期値問題を解く。問題は以下の通りです。 問題1：一般解を求める (1) $y' = x(1-y)$ (2) $ydy = 2xdx$ 問題2：初期値問題を解く (1) $xy' = 1, y(1) = 1 (x > 0)$ (2) $xdx - e^x dy = 0, y(0) = 1$ (3) $y' = y \cos x, y(0) = 1$ (4) $x \frac{dy}{dx} = \tan y, y(1) = \frac{\pi}{6}$

1. 問題の内容

与えられた微分方程式の一般解および初期値問題を解く。問題は以下の通りです。

問題1：一般解を求める

(1) $y' = x(1-y)$

(2) $ydy = 2xdx$

問題2：初期値問題を解く

(1) $xy' = 1, y(1) = 1 (x > 0)$

(2) $xdx - e^x dy = 0, y(0) = 1$

(3) $y' = y \cos x, y(0) = 1$

(4) $x \frac{dy}{dx} = \tan y, y(1) = \frac{\pi}{6}$

2. 解き方の手順

問題1

(1) $y' = x(1-y)$ は変数分離形なので、$\frac{dy}{dx} = x(1-y)$ と変形し、両辺を$(1-y)$で割り、$dx$を掛けると、

$\frac{dy}{1-y} = x dx$ となる。両辺を積分すると、

$\int \frac{dy}{1-y} = \int x dx$

$-\ln|1-y| = \frac{1}{2}x^2 + C_1$

$\ln|1-y| = -\frac{1}{2}x^2 - C_1$

$|1-y| = e^{-\frac{1}{2}x^2 - C_1} = e^{-C_1} e^{-\frac{1}{2}x^2}$

$1-y = \pm e^{-C_1} e^{-\frac{1}{2}x^2} = C e^{-\frac{1}{2}x^2}$

$y = 1 - C e^{-\frac{1}{2}x^2}$

(2) $ydy = 2xdx$ は変数分離形なので、両辺を積分すると、

$\int ydy = \int 2xdx$

$\frac{1}{2}y^2 = x^2 + C_1$

$y^2 = 2x^2 + 2C_1 = 2x^2 + C$

$y = \pm \sqrt{2x^2 + C}$

問題2

(1) $xy' = 1, y(1) = 1 (x > 0)$

$y' = \frac{1}{x}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}$

$dy = \frac{1}{x} dx$

$\int dy = \int \frac{1}{x} dx$

$y = \ln|x| + C$

初期条件 $y(1) = 1$ を代入すると、

$1 = \ln|1| + C = 0 + C$

$C = 1$

よって、$y = \ln|x| + 1$。 $x>0$より、$y = \ln x + 1$

(2) $xdx - e^x dy = 0, y(0) = 1$

$xdx = e^x dy$

$dy = xe^{-x} dx$

$\int dy = \int xe^{-x} dx$

$\int xe^{-x} dx = -xe^{-x} - e^{-x} + C_1$ (部分積分)

$y = -xe^{-x} - e^{-x} + C$

初期条件 $y(0) = 1$ を代入すると、

$1 = -0 \cdot e^{-0} - e^{-0} + C = -0 - 1 + C$

$C = 2$

よって、$y = -xe^{-x} - e^{-x} + 2$

(3) $y' = y \cos x, y(0) = 1$

$\frac{dy}{dx} = y \cos x$

$\frac{dy}{y} = \cos x dx$

$\int \frac{dy}{y} = \int \cos x dx$

$\ln|y| = \sin x + C_1$

$|y| = e^{\sin x + C_1} = e^{C_1} e^{\sin x}$

$y = Ce^{\sin x}$

初期条件 $y(0) = 1$ を代入すると、

$1 = Ce^{\sin 0} = Ce^0 = C$

$C = 1$

よって、$y = e^{\sin x}$

(4) $x \frac{dy}{dx} = \tan y, y(1) = \frac{\pi}{6}$

$\frac{dy}{\tan y} = \frac{dx}{x}$

$\cot y dy = \frac{dx}{x}$

$\int \cot y dy = \int \frac{dx}{x}$

$\ln|\sin y| = \ln|x| + C_1$

$\ln|\sin y| = \ln|x| + \ln C$

$\ln|\sin y| = \ln|Cx|$

$\sin y = Cx$

初期条件 $y(1) = \frac{\pi}{6}$ を代入すると、

$\sin \frac{\pi}{6} = C \cdot 1$

$\frac{1}{2} = C$

$C = \frac{1}{2}$

よって、$\sin y = \frac{1}{2}x$

3. 最終的な答え

問題1

(1) $y = 1 - C e^{-\frac{1}{2}x^2}$

(2) $y = \pm \sqrt{2x^2 + C}$

問題2

(1) $y = \ln x + 1$

(2) $y = -xe^{-x} - e^{-x} + 2$

(3) $y = e^{\sin x}$

(4) $\sin y = \frac{1}{2}x$