問題は3つあります。 (1) 順列と組み合わせの値を計算する問題。具体的には $_5P_3$, $_4P_4$, $_6C_2$, $_5C_3$ を計算します。 (2) 大小2つのサイコロを同時に投げた時、出た目の和が6の倍数になる確率と、出た目の積が奇数になる確率を求めます。 (3) 50以下の自然数全体の集合を$U$とし、$U$の部分集合で、2の倍数全体の集合を$A$、3の倍数全体の集合を$B$とします。このとき、$n(B)$, $n(A \cap B)$, $n(A \cap \overline{B})$, $n(\overline{A \cup B})$を求めます。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、解答を作成します。

1. 問題の内容

問題は3つあります。

(1) 順列と組み合わせの値を計算する問題。具体的には $_5P_3$, $_4P_4$, $_6C_2$, $_5C_3$ を計算します。

(2) 大小2つのサイコロを同時に投げた時、出た目の和が6の倍数になる確率と、出た目の積が奇数になる確率を求めます。

(3) 50以下の自然数全体の集合を$U$とし、$U$の部分集合で、2の倍数全体の集合を$A$、3の倍数全体の集合を$B$とします。このとき、$n(B)$, $n(A \cap B)$, $n(A \cap \overline{B})$, $n(\overline{A \cup B})$を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 順列と組み合わせの計算を行います。

* $_5P_3 = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = 5 \times 4 \times 3 = 60$

* $_4P_4 = \frac{4!}{(4-4)!} = \frac{4!}{0!} = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

* $_6C_2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

* $_5C_3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

(2) サイコロの問題を解きます。

* 大小2つのサイコロの目の和が6の倍数になるのは、和が6または12になる場合です。

* 和が6になるのは (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1) の5通り。

* 和が12になるのは (6, 6) の1通り。

* 全部で $5 + 1 = 6$通り。

* 確率は $\frac{6}{36} = \frac{1}{6}$

* 大小2つのサイコロの目の積が奇数になるのは、両方の目が奇数の場合です。

* 奇数の目は1, 3, 5の3つ。

* 両方奇数になるのは $3 \times 3 = 9$ 通り。

* 確率は $\frac{9}{36} = \frac{1}{4}$

(3) 集合の問題を解きます。

* $n(B)$: 50以下の3の倍数の個数を求めます。$50 \div 3 = 16$ あまり 2 なので、3の倍数は16個。

* $n(A \cap B)$: 50以下の2の倍数かつ3の倍数、つまり6の倍数の個数を求めます。 $50 \div 6 = 8$ あまり 2 なので、6の倍数は8個。

* $n(A \cap \overline{B})$: 50以下の2の倍数で、3の倍数でないものの個数を求めます。2の倍数は$50 \div 2 = 25$個。そのうち6の倍数（2の倍数かつ3の倍数）は8個なので、$25 - 8 = 17$個。

* $n(\overline{A \cup B})$: 50以下の2の倍数でも3の倍数でもないものの個数を求めます。

* $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 25 + 16 - 8 = 33$

* $n(\overline{A \cup B}) = 50 - n(A \cup B) = 50 - 33 = 17$

3. 最終的な答え

(1)

* $_5P_3 = 60$

* $_4P_4 = 24$

* $_6C_2 = 15$

* $_5C_3 = 10$

(2)

* 出た目の和が6の倍数である確率は $\frac{1}{6}$

* 出た目の積が奇数である確率は $\frac{1}{4}$

(3)

* $n(B) = 16$

* $n(A \cap B) = 8$

* $n(A \cap \overline{B}) = 17$

* $n(\overline{A \cup B}) = 17$