与えられた積分を計算します。積分は次の通りです。 $\int \left( \frac{2x-4}{x^2-4x+5} - \frac{1}{x^2-4x+5} \right) dx$

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。積分は次の通りです。

$\int \left( \frac{2x-4}{x^2-4x+5} - \frac{1}{x^2-4x+5} \right) dx$

2. 解き方の手順

まず、積分の中身を整理します。

$\frac{2x-4}{x^2-4x+5} - \frac{1}{x^2-4x+5} = \frac{2x-4-1}{x^2-4x+5} = \frac{2x-5}{x^2-4x+5}$

したがって、積分は次のようになります。

$\int \frac{2x-5}{x^2-4x+5} dx$

次に、$x^2-4x+5$を微分すると$2x-4$になることに注目します。

分子は$2x-5$なので、$2x-5 = 2x-4-1$と変形します。

したがって、

$\int \frac{2x-5}{x^2-4x+5} dx = \int \frac{2x-4-1}{x^2-4x+5} dx = \int \frac{2x-4}{x^2-4x+5} dx - \int \frac{1}{x^2-4x+5} dx$

$\int \frac{2x-4}{x^2-4x+5} dx$は、置換積分で計算できます。$u = x^2-4x+5$とすると、$du = (2x-4)dx$となるので、

$\int \frac{2x-4}{x^2-4x+5} dx = \int \frac{1}{u} du = \ln |u| + C = \ln |x^2-4x+5| + C$

次に、$\int \frac{1}{x^2-4x+5} dx$を計算します。

$x^2-4x+5 = (x-2)^2 + 1$と平方完成できます。したがって、

$\int \frac{1}{x^2-4x+5} dx = \int \frac{1}{(x-2)^2+1} dx$

$x-2 = \tan \theta$と置換すると、$dx = \sec^2 \theta d\theta$となるので、

$\int \frac{1}{(x-2)^2+1} dx = \int \frac{1}{\tan^2 \theta + 1} \sec^2 \theta d\theta = \int \frac{\sec^2 \theta}{\sec^2 \theta} d\theta = \int 1 d\theta = \theta + C = \arctan(x-2) + C$

したがって、

$\int \frac{2x-5}{x^2-4x+5} dx = \ln |x^2-4x+5| - \arctan(x-2) + C$

3. 最終的な答え

$\ln|x^2-4x+5| - \arctan(x-2) + C$