円周上に4点A, B, C, Dがあり、直線ABとCDの交点をPとする。PB = AB, PC = 5, CD = 3であるとき、ABの長さを求めよ。

## (4)の問題

1. 問題の内容

円周上に4点A, B, C, Dがあり、直線ABとCDの交点をPとする。PB = AB, PC = 5, CD = 3であるとき、ABの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

方べきの定理より、$PA \cdot PB = PC \cdot PD$ が成り立つ。

$PD = PC + CD = 5 + 3 = 8$ であるから、$PC \cdot PD = 5 \cdot 8 = 40$

$PB = AB$ であるから、$PA = PB + AB = 2PB$

したがって、$PA \cdot PB = 2PB \cdot PB = 2PB^2 = 40$

$PB^2 = 20$ より、$PB = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

$AB = PB = 2\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

$2\sqrt{5}$

## (5)の問題

1. 問題の内容

半径が3の円に点Pから接線PAを引く。円の中心をOとするとき、線分POと円との交点をBとする。PA = 4のとき、PBの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

接線に関する方べきの定理より、$PA^2 = PB \cdot PC$ が成り立つ。ここで、$PC$はPから円の中心Oを通り反対側まで延ばした直線と円との交点Cまでの距離である。

$PC = PO + OC$

$PO = PB + BO$

$BO = 3$ （半径）

$PB \cdot (PB + BO + OC) = PA^2$

$OC = 3$ （半径）なので

$PB \cdot (PB + 3 + 3) = 4^2$

$PB \cdot (PB + 6) = 16$

$PB^2 + 6PB - 16 = 0$

$(PB + 8)(PB - 2) = 0$

$PB > 0$ より、$PB = 2$

3. 最終的な答え

2