(1) 四角形ABCDが円に内接し、点Cで直線TT'が円に接している。$\angle BAD = 110^\circ$, $\angle DCT' = 50^\circ$であるとき、$\angle BDC$の大きさを求めよ。 (2) 四角形ABCDが円に内接し、点Cで直線TT'が円に接している。$\angle BDC = 70^\circ$, $\angle DCT' = 30^\circ$であるとき、$\angle BAD$の大きさを求めよ。

1. 問題の内容

(1) 四角形ABCDが円に内接し、点Cで直線TT'が円に接している。$\angle BAD = 110^\circ$, $\angle DCT' = 50^\circ$であるとき、$\angle BDC$の大きさを求めよ。

(2) 四角形ABCDが円に内接し、点Cで直線TT'が円に接している。$\angle BDC = 70^\circ$, $\angle DCT' = 30^\circ$であるとき、$\angle BAD$の大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 円に内接する四角形の対角の和は$180^\circ$であるから、

$\angle BCD = 180^\circ - \angle BAD = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$.

接線と弦の作る角の定理より、$\angle CBD = \angle DCT' = 50^\circ$.

三角形の内角の和は$180^\circ$であるから、$\angle BCD = \angle BDC + \angle CBD$となる。

よって、$\angle BDC = \angle BCD - \angle CBD = 70^\circ - 50^\circ = 20^\circ$.

(2) 接線と弦の作る角の定理より、$\angle CBD = \angle DCT' = 30^\circ$.

三角形の内角の和は$180^\circ$であるから、$\angle BCD = \angle BDC + \angle CBD = 70^\circ + 30^\circ = 100^\circ$.

円に内接する四角形の対角の和は$180^\circ$であるから、$\angle BAD = 180^\circ - \angle BCD = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$.

3. 最終的な答え

(1) $\angle BDC = 20^\circ$

(2) $\angle BAD = 80^\circ$