初期グラフから始めて、与えられた2種類の操作を繰り返すことで、全ての頂点が白で、n個の頂点を持つ棒状のグラフを構成できるようなnの必要十分条件を求める。

離散数学グラフ理論グラフ棒グラフ頂点辺操作必要十分条件

2025/3/23

1. 問題の内容

(1) 初期グラフは一つの白い頂点（n=1の棒グラフ）である。

(2) 操作1は、頂点Pを一つ選び、新しい頂点P_{n+1}と辺E_{m+1}を加える。P_{m+1}の色は白に固定され、Pの色は反転する。

(3) 操作2は、辺E_jを一つ選び、新しい頂点P_{n+1}、辺E_{m+1}, E_{m+2}を加える。E_jの両端の頂点の色は反転し、P_{n+1}の色は白に固定される。

(4) 目標は、全ての頂点が白であるn個の頂点を持つ棒グラフを構成できる条件を求めることである。

初期グラフは頂点1つで白。操作1または2を行うと、必ず白い頂点が増える。また、操作によって頂点の色は反転しうる。

操作1は、棒グラフの端に頂点を追加する操作に対応する。操作2は、棒グラフの辺の途中に頂点を追加する操作に対応する。

初期状態では、頂点1つ（白）。

- 操作1を行うと、頂点2つ（黒、白）。

- 操作2を行うことはできない（辺がないため）。

操作1を繰り返してn個の頂点を持つ棒グラフを作ることを考える。

頂点の数がnの場合、操作1を繰り返すと、黒い頂点の数は常に1つとなる。

したがって、この方法では、すべての頂点を白くすることはできない。

操作2は、棒グラフの辺を分割して頂点を増やす操作である。

初期状態（頂点1つ、白）から操作2を行うことはできない。

操作1を一度行って、頂点2つ（黒、白）の状態にする。

次に、操作2を行うと、頂点3つ（白、黒、白）となる。

さらに操作2を行うと、頂点4つ（黒、白、黒、白）となる。

あるステップで全ての頂点が白であるためには、操作後にすべての頂点が白になるように操作を選ばなければならない。

初期状態（白）からスタートし、操作1または操作2を繰り返してn個の白い頂点を持つグラフを作成することを考える。

操作1は、選んだ頂点の色を反転し、新たに白い頂点を追加する。

操作2は、選んだ辺の両端の頂点の色を反転し、新たに白い頂点を追加する。

全ての頂点を白にするには、黒い頂点の数を減らす操作が必要である。

操作1と操作2は、黒い頂点の数を増やすか変化させない。

棒グラフを構成するためには、操作1と操作2を適切に組み合わせる必要がある。

棒グラフの構造を維持しながら、黒い頂点をなくすことができるのは、初期グラフ（白い頂点一つ）の場合のみである。