重積分 $\iint_D (xy + x + 3) \, ds$ を、領域 $D: 1 \le x \le 2, 0 \le y \le 1$ に対して計算します。

1. 問題の内容

重積分 $\iint_D (xy + x + 3) \, ds$ を、領域 $D: 1 \le x \le 2, 0 \le y \le 1$ に対して計算します。

2. 解き方の手順

まず、二重積分を逐次積分に分解します。領域 $D$ が $x$ と $y$ の範囲で与えられているため、$x$ と $y$ のどちらから積分しても構いませんが、今回は $y$ から積分することにします。

$$\iint_D (xy + x + 3) \, ds = \int_{1}^{2} \int_{0}^{1} (xy + x + 3) \, dy \, dx$$

まず内側の積分を計算します。

$$\int_{0}^{1} (xy + x + 3) \, dy = \left[ \frac{1}{2}xy^2 + xy + 3y \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2}x + x + 3 = \frac{3}{2}x + 3$$

次に外側の積分を計算します。

$$\int_{1}^{2} \left( \frac{3}{2}x + 3 \right) \, dx = \left[ \frac{3}{4}x^2 + 3x \right]_{1}^{2} = \left( \frac{3}{4}(2)^2 + 3(2) \right) - \left( \frac{3}{4}(1)^2 + 3(1) \right) = (3 + 6) - \left( \frac{3}{4} + 3 \right) = 9 - \frac{15}{4} = \frac{36 - 15}{4} = \frac{21}{4}$$

3. 最終的な答え

$\frac{21}{4}$