全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ の部分集合 $A = \{2, 3, 5, 8\}$ と $B = \{1, 3, 5\}$ について、以下の集合を求めます。 (1) $A \cap B$ (2) $\overline{A \cup B}$ (3) $\overline{A} \cup B$ (4) $A \cap \overline{B}$

はい、承知しました。それでは、問題を解いていきましょう。

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ の部分集合 $A = \{2, 3, 5, 8\}$ と $B = \{1, 3, 5\}$ について、以下の集合を求めます。

(1) $A \cap B$

(2) $\overline{A \cup B}$

(3) $\overline{A} \cup B$

(4) $A \cap \overline{B}$

2. 解き方の手順

(1) $A \cap B$ (AかつB) は、AとBの両方に含まれる要素の集合です。

AとBの要素を比較すると、両方に含まれる要素は3と5です。

したがって、$A \cap B = \{3, 5\}$

(2) $\overline{A \cup B}$ (AまたはBの補集合) を求めます。

まず、$A \cup B$ (AまたはB) を求めます。これは、AとBの要素をすべて含んだ集合です。

$A \cup B = \{1, 2, 3, 5, 8\}$

次に、$A \cup B$ の補集合を求めます。これは、全体集合Uから $A \cup B$ の要素を除いた集合です。

$\overline{A \cup B} = U - (A \cup B) = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} - \{1, 2, 3, 5, 8\} = \{4, 6, 7, 9\}$

(3) $\overline{A} \cup B$ (Aの補集合またはB) を求めます。

まず、$A$ の補集合 $\overline{A}$ を求めます。これは、全体集合UからAの要素を除いた集合です。

$\overline{A} = U - A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} - \{2, 3, 5, 8\} = \{1, 4, 6, 7, 9\}$

次に、$\overline{A} \cup B$ を求めます。これは、$\overline{A}$ とBの要素をすべて含んだ集合です。

$\overline{A} \cup B = \{1, 4, 6, 7, 9\} \cup \{1, 3, 5\} = \{1, 3, 4, 5, 6, 7, 9\}$

(4) $A \cap \overline{B}$ (AかつBの補集合) を求めます。

まず、$B$ の補集合 $\overline{B}$ を求めます。これは、全体集合UからBの要素を除いた集合です。

$\overline{B} = U - B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} - \{1, 3, 5\} = \{2, 4, 6, 7, 8, 9\}$

次に、$A \cap \overline{B}$ を求めます。これは、Aと $\overline{B}$ の両方に含まれる要素の集合です。

$A \cap \overline{B} = \{2, 3, 5, 8\} \cap \{2, 4, 6, 7, 8, 9\} = \{2, 8\}$

3. 最終的な答え

(1) $A \cap B = \{3, 5\}$

(2) $\overline{A \cup B} = \{4, 6, 7, 9\}$

(3) $\overline{A} \cup B = \{1, 3, 4, 5, 6, 7, 9\}$

(4) $A \cap \overline{B} = \{2, 8\}$