問題は以下の通りです。 実数 $x$ が $|arctan(x)| < \frac{\pi}{10}$ を満たすとき、以下の問いに答えよ。ただし、arctan の値域は $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ である。 (1) $arctan(y) = 3arctan(x)$ を満たす実数 $y$ を $x$ で表せ。 (2) $arctan(z) = 5arctan(x)$ を満たす実数 $z$ を $x$ で表せ。

1. 問題の内容

問題は以下の通りです。

実数 $x$ が $|arctan(x)| < \frac{\pi}{10}$ を満たすとき、以下の問いに答えよ。ただし、arctan の値域は $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ である。

(1) $arctan(y) = 3arctan(x)$ を満たす実数 $y$ を $x$ で表せ。

(2) $arctan(z) = 5arctan(x)$ を満たす実数 $z$ を $x$ で表せ。

2. 解き方の手順

(1) $arctan(y) = 3arctan(x)$ の場合

両辺のtanを取ると、

$y = tan(3arctan(x))$

ここで、$arctan(x) = \theta$ とすると、$tan(\theta) = x$ となる。

よって、$y = tan(3\theta)$ を $x$ で表せばよい。

三角関数の3倍角の公式より、

$tan(3\theta) = \frac{3tan(\theta) - tan^3(\theta)}{1 - 3tan^2(\theta)}$

$tan(\theta) = x$ を代入すると、

$y = \frac{3x - x^3}{1 - 3x^2}$

(2) $arctan(z) = 5arctan(x)$ の場合

両辺のtanを取ると、

$z = tan(5arctan(x))$

ここで、$arctan(x) = \theta$ とすると、$tan(\theta) = x$ となる。

よって、$z = tan(5\theta)$ を $x$ で表せばよい。

$tan(5\theta) = tan(3\theta + 2\theta)$ と考える。

加法定理より、

$tan(5\theta) = \frac{tan(3\theta) + tan(2\theta)}{1 - tan(3\theta)tan(2\theta)}$

$tan(3\theta) = \frac{3tan(\theta) - tan^3(\theta)}{1 - 3tan^2(\theta)} = \frac{3x - x^3}{1 - 3x^2}$

$tan(2\theta) = \frac{2tan(\theta)}{1 - tan^2(\theta)} = \frac{2x}{1 - x^2}$

これらを代入すると、

$z = \frac{\frac{3x - x^3}{1 - 3x^2} + \frac{2x}{1 - x^2}}{1 - \frac{3x - x^3}{1 - 3x^2}\frac{2x}{1 - x^2}}$

$z = \frac{(3x - x^3)(1 - x^2) + 2x(1 - 3x^2)}{(1 - 3x^2)(1 - x^2) - 2x(3x - x^3)}$

$z = \frac{3x - 3x^3 - x^3 + x^5 + 2x - 6x^3}{1 - x^2 - 3x^2 + 3x^4 - 6x^2 + 2x^4}$

$z = \frac{x^5 - 10x^3 + 5x}{5x^4 - 10x^2 + 1}$

3. 最終的な答え

(1) $y = \frac{3x - x^3}{1 - 3x^2}$

(2) $z = \frac{x^5 - 10x^3 + 5x}{5x^4 - 10x^2 + 1}$