与えられた領域 $D$ 上で、次の積分を計算します。 (1) $\int_{D} (x + 2xy) \, dS$, $D = \{(x, y) \, | \, 0 \le x \le 2, \, 1 \le y \le 2\}$ (2) $\int_{D} x \, dS$, $D = \{(x, y) \, | \, -a \le x \le a, \, -b \le y \le b\}$ (3) $\int_{D} x^2 \, dS$, $D = \{(x, y) \, | \, -a \le x \le a, \, -b \le y \le b\}$

1. 問題の内容

与えられた領域 $D$ 上で、次の積分を計算します。

(1) $\int_{D} (x + 2xy) \, dS$, $D = \{(x, y) \, | \, 0 \le x \le 2, \, 1 \le y \le 2\}$

(2) $\int_{D} x \, dS$, $D = \{(x, y) \, | \, -a \le x \le a, \, -b \le y \le b\}$

(3) $\int_{D} x^2 \, dS$, $D = \{(x, y) \, | \, -a \le x \le a, \, -b \le y \le b\}$

2. 解き方の手順

(1) 積分領域 $D$ が長方形なので、累次積分に分解できます。

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\int_{D} (x + 2xy) \, dS = \int_{0}^{2} \int_{1}^{2} (x + 2xy) \, dy \, dx

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まず、$y$ について積分します。

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\int_{1}^{2} (x + 2xy) \, dy = \left[ xy + xy^2 \right]_{1}^{2} = (2x + 4x) - (x + x) = 6x - 2x = 4x

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次に、$x$ について積分します。

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\int_{0}^{2} 4x \, dx = \left[ 2x^2 \right]_{0}^{2} = 2(4) - 0 = 8

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(2) 積分領域 $D$ が長方形なので、累次積分に分解できます。

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\int_{D} x \, dS = \int_{-a}^{a} \int_{-b}^{b} x \, dy \, dx

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まず、$y$ について積分します。

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\int_{-b}^{b} x \, dy = \left[ xy \right]_{-b}^{b} = xb - x(-b) = 2xb

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次に、$x$ について積分します。

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\int_{-a}^{a} 2xb \, dx = \left[ x^2b \right]_{-a}^{a} = a^2b - (-a)^2b = a^2b - a^2b = 0

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(3) 積分領域 $D$ が長方形なので、累次積分に分解できます。

$$$$

\int_{D} x^2 \, dS = \int_{-a}^{a} \int_{-b}^{b} x^2 \, dy \, dx

$$$$

まず、$y$ について積分します。

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\int_{-b}^{b} x^2 \, dy = \left[ x^2y \right]_{-b}^{b} = x^2b - x^2(-b) = 2x^2b

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次に、$x$ について積分します。

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\int_{-a}^{a} 2x^2b \, dx = \left[ \frac{2}{3}x^3b \right]_{-a}^{a} = \frac{2}{3}a^3b - \frac{2}{3}(-a)^3b = \frac{2}{3}a^3b + \frac{2}{3}a^3b = \frac{4}{3}a^3b

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3. 最終的な答え

(1) 8

(2) 0

(3) $\frac{4}{3}a^3b$