微分方程式 $(2xy \log y)dx + (x^2+3y^3)dy = 0$ に対して、$x^{\alpha}y^{\beta}$ 型の積分因子を見つけて、一般解を求めよ。

## 問題7の解答

1. 問題の内容

微分方程式 $(2xy \log y)dx + (x^2+3y^3)dy = 0$ に対して、$x^{\alpha}y^{\beta}$ 型の積分因子を見つけて、一般解を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた微分方程式を

$M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0$

と表す。ここで、

$M(x,y) = 2xy \log y$

$N(x,y) = x^2 + 3y^3$

$x^{\alpha}y^{\beta}$ を積分因子と仮定すると、

$\mu(x,y) = x^{\alpha}y^{\beta}$

$\mu M dx + \mu N dy = 0$

つまり

$(x^{\alpha}y^{\beta}2xy \log y) dx + (x^{\alpha}y^{\beta}(x^2 + 3y^3))dy = 0$

これが完全微分形になるための条件は

$\frac{\partial (\mu M)}{\partial y} = \frac{\partial (\mu N)}{\partial x}$

$\frac{\partial (\mu M)}{\partial y} = \frac{\partial (2x^{\alpha+1}y^{\beta+1} \log y)}{\partial y} = 2x^{\alpha+1} (\beta+1)y^{\beta} \log y + 2x^{\alpha+1}y^{\beta+1}\frac{1}{y} = 2x^{\alpha+1} (\beta+1)y^{\beta} \log y + 2x^{\alpha+1}y^{\beta}$

$\frac{\partial (\mu N)}{\partial x} = \frac{\partial (x^{\alpha}y^{\beta}(x^2 + 3y^3))}{\partial x} = \frac{\partial (x^{\alpha+2}y^{\beta} + 3x^{\alpha}y^{\beta+3})}{\partial x} = (\alpha+2)x^{\alpha+1}y^{\beta} + 3\alpha x^{\alpha-1}y^{\beta+3}$

よって

$2x^{\alpha+1} (\beta+1)y^{\beta} \log y + 2x^{\alpha+1}y^{\beta} = (\alpha+2)x^{\alpha+1}y^{\beta} + 3\alpha x^{\alpha-1}y^{\beta+3}$

この式が成り立つためには

$\alpha = 0$

である必要がある. そうすると、

$2x(\beta+1)y^{\beta} \log y + 2xy^{\beta} = 2xy^{\beta} + 0$

つまり

$2x(\beta+1)y^{\beta} \log y = 0$

よって

$\beta = -1$

したがって、積分因子は $\mu(x,y) = y^{-1} = \frac{1}{y}$

$\frac{2xy \log y}{y} dx + \frac{x^2+3y^3}{y} dy = 0$

$2x \log y dx + (\frac{x^2}{y} + 3y^2)dy = 0$

$\frac{\partial \phi}{\partial x} = 2x \log y$

$\phi = x^2 \log y + f(y)$

$\frac{\partial \phi}{\partial y} = \frac{x^2}{y} + f'(y)$

$\frac{\partial \phi}{\partial y} = \frac{x^2}{y} + 3y^2$

$f'(y) = 3y^2$

$f(y) = y^3 + C$

したがって

$\phi = x^2 \log y + y^3 = C$

3. 最終的な答え

$x^2 \log y + y^3 = C$