与えられた微分方程式の問題を解きます。具体的には、以下の7つの問題があります。 1. $(x+3)(x-4)y' = 7xy$ の一般解を求める。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式の問題を解きます。具体的には、以下の7つの問題があります。

1. $(x+3)(x-4)y' = 7xy$ の一般解を求める。

2. $y' = \frac{4x^7 + 3y^5}{3xy^4}$ の一般解を求める。

3. $y' = \frac{3x - y + 13}{x + y + 3}$ の一般解を求める。

4. $x \frac{dy}{dx} - 4y = x^8$ の一般解を求める。

5. $7y' + 2xy = 2x^{\frac{5}{6}}$ の一般解を求める。

6. $(3xe^{3x^2 + 2y^2} + 6x^5) dx + (2ye^{3x^2 + 2y^2} + 4y^3) dy = 0$ が完全微分形であることを確かめ、一般解を求める。

7. $(2xylogy) dx + (x^2 + 3y^2) dy = 0$ に対して $x^\alpha y^\beta$ 型の積分因子を見出して一般解を求める。

今回は7番の問題を解きます。

2. 解き方の手順

問題7: $(2xylogy) dx + (x^2 + 3y^2) dy = 0$ に対して $x^\alpha y^\beta$ 型の積分因子を見出して一般解を求める。

まず、与えられた微分方程式を

$M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0$ の形に書くと、

$M(x,y) = 2xylogy$

$N(x,y) = x^2 + 3y^2$

となります。

完全微分形であるためには $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ が成り立つ必要がありますが、

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2x \log y + 2x$

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2x$

なので、完全微分形ではありません。

次に、積分因子 $x^\alpha y^\beta$ をかけて完全微分形になるようにします。

新しい $M$ と $N$ は

$M'(x,y) = x^\alpha y^\beta (2xylogy) = 2 x^{\alpha+1} y^{\beta+1} \log y$

$N'(x,y) = x^\alpha y^\beta (x^2 + 3y^2) = x^{\alpha+2} y^\beta + 3x^\alpha y^{\beta+2}$

完全微分形になる条件 $\frac{\partial M'}{\partial y} = \frac{\partial N'}{\partial x}$ を適用します。

$\frac{\partial M'}{\partial y} = 2 x^{\alpha+1} (\beta+1) y^\beta \log y + 2 x^{\alpha+1} y^\beta = 2 x^{\alpha+1} y^\beta ((\beta+1) \log y + 1)$

$\frac{\partial N'}{\partial x} = (\alpha+2) x^{\alpha+1} y^\beta + 3\alpha x^{\alpha-1} y^{\beta+2}$

$2x^{\alpha+1} y^{\beta} ((\beta+1) \log y + 1) = (\alpha+2) x^{\alpha+1} y^{\beta} + 3\alpha x^{\alpha-1} y^{\beta+2}$

この式が成り立つためには、$\alpha = 0$ である必要があります。

$\alpha = 0$ とすると、

$2 x y^{\beta} ((\beta+1) \log y + 1) = 2 x y^{\beta} + 0$

$(\beta+1) \log y + 1 = 1$

$(\beta+1) \log y = 0$

$\beta = -1$

したがって、積分因子は $x^0 y^{-1} = \frac{1}{y}$ です。

微分方程式に $\frac{1}{y}$ をかけると、

$2x \log y dx + (\frac{x^2}{y} + 3y) dy = 0$

$M(x,y) = 2x \log y$

$N(x,y) = \frac{x^2}{y} + 3y$

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{2x}{y}$

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{2x}{y}$

これで完全微分形になりました。

$\frac{\partial F}{\partial x} = 2x \log y$

$F(x,y) = x^2 \log y + g(y)$

$\frac{\partial F}{\partial y} = \frac{x^2}{y} + g'(y) = \frac{x^2}{y} + 3y$

$g'(y) = 3y$

$g(y) = \frac{3}{2} y^2 + C$

したがって、一般解は

$x^2 \log y + \frac{3}{2} y^2 = C$

3. 最終的な答え

$x^2 \log y + \frac{3}{2}y^2 = C$