隣り合う2辺の長さが7と$3\sqrt{2}$で、その間の角が45°である平行四辺形の2つの対角線の長さを求めよ。

1. 問題の内容

隣り合う2辺の長さが7と$3\sqrt{2}$で、その間の角が45°である平行四辺形の2つの対角線の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

平行四辺形の対角線の長さを求めるために、余弦定理を使用します。平行四辺形の2つの対角線を$d_1$と$d_2$とし、隣り合う2辺の長さを$a=7$と$b=3\sqrt{2}$とし、その間の角を$\theta = 45^\circ$とします。平行四辺形の性質より、隣り合う角の和は180°なので、$\theta$の反対側の角は$180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$となります。

対角線$d_1$の長さを求めます。余弦定理より、

$d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos{\theta}$

$d_1^2 = 7^2 + (3\sqrt{2})^2 - 2(7)(3\sqrt{2})\cos{45^\circ}$

$\cos{45^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$なので、

$d_1^2 = 49 + 18 - 42\sqrt{2}\frac{\sqrt{2}}{2}$

$d_1^2 = 67 - 42$

$d_1^2 = 25$

$d_1 = \sqrt{25} = 5$

対角線$d_2$の長さを求めます。余弦定理より、

$d_2^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos{(180^\circ - \theta)}$

$d_2^2 = a^2 + b^2 + 2ab\cos{\theta}$

$d_2^2 = 7^2 + (3\sqrt{2})^2 + 2(7)(3\sqrt{2})\cos{45^\circ}$

$d_2^2 = 49 + 18 + 42\sqrt{2}\frac{\sqrt{2}}{2}$

$d_2^2 = 67 + 42$

$d_2^2 = 109$

$d_2 = \sqrt{109}$

3. 最終的な答え

2つの対角線の長さは5と$\sqrt{109}$です。