与えられた二つの関数について、それぞれの導関数を求める問題です。 (1) $y = \frac{1}{\sqrt[4]{x}}$ (2) $y = \sqrt{4x^2 + 5}$

1. 問題の内容

与えられた二つの関数について、それぞれの導関数を求める問題です。

(1) $y = \frac{1}{\sqrt[4]{x}}$

(2) $y = \sqrt{4x^2 + 5}$

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{1}{\sqrt[4]{x}}$ の導関数を求めます。

まず、$y$ を指数関数で表します。

$y = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} = x^{-\frac{1}{4}}$

次に、$y$ を微分します。

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{4} x^{-\frac{1}{4} - 1} = -\frac{1}{4} x^{-\frac{5}{4}} = -\frac{1}{4x^{\frac{5}{4}}} = -\frac{1}{4 \sqrt[4]{x^5}}$

(2) $y = \sqrt{4x^2 + 5}$ の導関数を求めます。

$y = (4x^2 + 5)^{\frac{1}{2}}$

合成関数の微分を行います。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} (4x^2 + 5)^{-\frac{1}{2}} \cdot (8x)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{8x}{2\sqrt{4x^2 + 5}} = \frac{4x}{\sqrt{4x^2 + 5}}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{4x^{\frac{5}{4}}} = -\frac{1}{4 \sqrt[4]{x^5}}$

(2) $\frac{dy}{dx} = \frac{4x}{\sqrt{4x^2 + 5}}$