質量 $m$ [kg] のおもりを軽い糸で天井から吊り下げた。糸の両端をA, Bとし、おもりを吊り下げている点をCとする。糸ACと鉛直線がなす角が60度、糸BCと鉛直線がなす角が30度であるとき、糸ACの張力 $T_A$ [N] と糸BCの張力 $T_B$ [N] を求めよ。重力加速度の大きさは $g$ [m/s^2]とする。

1. 問題の内容

質量 $m$ [kg] のおもりを軽い糸で天井から吊り下げた。糸の両端をA, Bとし、おもりを吊り下げている点をCとする。糸ACと鉛直線がなす角が60度、糸BCと鉛直線がなす角が30度であるとき、糸ACの張力 $T_A$ [N] と糸BCの張力 $T_B$ [N] を求めよ。重力加速度の大きさは $g$ [m/s^2]とする。

2. 解き方の手順

おもりにはたらく力は、重力 $mg$ と、糸ACの張力 $T_A$、糸BCの張力 $T_B$ である。

力のつり合いを考えるために、各張力を水平方向と鉛直方向に分解する。

糸ACの張力 $T_A$ の水平成分は $T_A \sin(60^\circ)$、鉛直成分は $T_A \cos(60^\circ)$ である。

糸BCの張力 $T_B$ の水平成分は $T_B \sin(30^\circ)$、鉛直成分は $T_B \cos(30^\circ)$ である。

力のつり合いの式は以下のようになる。

水平方向：

$T_A \sin(60^\circ) = T_B \sin(30^\circ)$

鉛直方向：

$T_A \cos(60^\circ) + T_B \cos(30^\circ) = mg$

これらの式に $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ を代入すると、

$\frac{\sqrt{3}}{2} T_A = \frac{1}{2} T_B$

$\frac{1}{2} T_A + \frac{\sqrt{3}}{2} T_B = mg$

一つ目の式から $T_B = \sqrt{3} T_A$ が得られる。これを二つ目の式に代入すると、

$\frac{1}{2} T_A + \frac{\sqrt{3}}{2} (\sqrt{3} T_A) = mg$

$\frac{1}{2} T_A + \frac{3}{2} T_A = mg$

$2 T_A = mg$

$T_A = \frac{mg}{2}$

$T_B = \sqrt{3} T_A = \sqrt{3} \frac{mg}{2} = \frac{\sqrt{3}mg}{2}$

3. 最終的な答え

$T_A = \frac{mg}{2}$ [N]

$T_B = \frac{\sqrt{3}mg}{2}$ [N]