与えられた関数の導関数を求める問題です。具体的には、以下の4つの関数について、それぞれの導関数を求めます。 (1) $y = \frac{1}{\sqrt[4]{x}}$ (2) $y = \sqrt{4x^2 + 5}$ (3) $y = \sqrt[3]{(x + 3)^2}$ (4) $y = x\sqrt{1 - x^2}$

1. 問題の内容

与えられた関数の導関数を求める問題です。具体的には、以下の4つの関数について、それぞれの導関数を求めます。

(1) $y = \frac{1}{\sqrt[4]{x}}$

(2) $y = \sqrt{4x^2 + 5}$

(3) $y = \sqrt[3]{(x + 3)^2}$

(4) $y = x\sqrt{1 - x^2}$

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{1}{\sqrt[4]{x}} = x^{-1/4}$

$y' = -\frac{1}{4}x^{-\frac{1}{4} - 1}$

$y' = -\frac{1}{4}x^{-\frac{5}{4}}$

$y' = -\frac{1}{4x^{5/4}} = -\frac{1}{4\sqrt[4]{x^5}}$

(2) $y = \sqrt{4x^2 + 5} = (4x^2 + 5)^{\frac{1}{2}}$

$y' = \frac{1}{2}(4x^2 + 5)^{-\frac{1}{2}} \cdot (8x)$

$y' = \frac{8x}{2\sqrt{4x^2 + 5}}$

$y' = \frac{4x}{\sqrt{4x^2 + 5}}$

(3) $y = \sqrt[3]{(x + 3)^2} = (x + 3)^{\frac{2}{3}}$

$y' = \frac{2}{3}(x + 3)^{\frac{2}{3} - 1}$

$y' = \frac{2}{3}(x + 3)^{-\frac{1}{3}}$

$y' = \frac{2}{3\sqrt[3]{x + 3}}$

(4) $y = x\sqrt{1 - x^2} = x(1 - x^2)^{\frac{1}{2}}$

積の微分法を使用します。 $(uv)' = u'v + uv'$

$u = x$, $v = (1 - x^2)^{\frac{1}{2}}$

$u' = 1$, $v' = \frac{1}{2}(1 - x^2)^{-\frac{1}{2}}(-2x) = -\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$

$y' = 1 \cdot \sqrt{1 - x^2} + x \cdot \left(-\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}\right)$

$y' = \sqrt{1 - x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}}$

$y' = \frac{1 - x^2 - x^2}{\sqrt{1 - x^2}}$

$y' = \frac{1 - 2x^2}{\sqrt{1 - x^2}}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = -\frac{1}{4\sqrt[4]{x^5}}$

(2) $y' = \frac{4x}{\sqrt{4x^2 + 5}}$

(3) $y' = \frac{2}{3\sqrt[3]{x + 3}}$

(4) $y' = \frac{1 - 2x^2}{\sqrt{1 - x^2}}$