三角形ABCにおいて、$B = 45^\circ$, $a:b = 1:2$, $c = \sqrt{2}$ である。 (1) $\sin A$ の値を求めよ。 (2) $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$B = 45^\circ$, $a:b = 1:2$, $c = \sqrt{2}$ である。

(1) $\sin A$ の値を求めよ。

(2) $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\sin A$ の値を求める。

正弦定理より、$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$

$a:b = 1:2$ より、$b = 2a$

$\sin B = \sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\frac{a}{\sin A} = \frac{2a}{\frac{1}{\sqrt{2}}}$

$\sin A = \frac{a \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}{2a}$

$\sin A = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$

(2) $a$ の値を求める。

正弦定理より、$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$

$\frac{a}{\frac{\sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{\sin C}$

$\sin C = \frac{\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{4}}{a} = \frac{\frac{1}{2}}{a} = \frac{1}{2a}$

$A + B + C = 180^\circ$ より、

$A + C = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$

$C = 135^\circ - A$

$\sin C = \sin (135^\circ - A) = \sin 135^\circ \cos A - \cos 135^\circ \sin A = \frac{1}{\sqrt{2}} \cos A + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin A$

$\frac{1}{2a} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cos A + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin A$

$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ より、

$\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - (\frac{\sqrt{2}}{4})^2} = \sqrt{1 - \frac{2}{16}} = \sqrt{1 - \frac{1}{8}} = \sqrt{\frac{7}{8}} = \frac{\sqrt{14}}{4}$

$\frac{1}{2a} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{14}}{4} + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{7}}{4} + \frac{1}{4} = \frac{\sqrt{7} + 1}{4}$

$2a = \frac{4}{\sqrt{7} + 1}$

$a = \frac{2}{\sqrt{7} + 1} = \frac{2(\sqrt{7} - 1)}{(\sqrt{7} + 1)(\sqrt{7} - 1)} = \frac{2(\sqrt{7} - 1)}{7 - 1} = \frac{2(\sqrt{7} - 1)}{6} = \frac{\sqrt{7} - 1}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin A = \frac{\sqrt{2}}{4}$

(2) $a = \frac{\sqrt{7} - 1}{3}$