与えられた対数の問題を解く。具体的には、以下の問題を解く。 (2) $\log_3 6 - \log_3 2$ (3) $\log_5 75 - \log_5 3$ (5) $\log_{\frac{3}{4}} 27 - \log_{\frac{3}{4}} 3 - \log_{\frac{3}{4}} 12$ (6) $\log_3 16 \times \log_2 3$ (7) $4 \log_2 x^3 - 3 \log_2 x^2$ (2.18 (2)) $\log_3 36 - 4 \log_9 18$

1. 問題の内容

与えられた対数の問題を解く。具体的には、以下の問題を解く。

(2) $\log_3 6 - \log_3 2$

(3) $\log_5 75 - \log_5 3$

(5) $\log_{\frac{3}{4}} 27 - \log_{\frac{3}{4}} 3 - \log_{\frac{3}{4}} 12$

(6) $\log_3 16 \times \log_2 3$

(7) $4 \log_2 x^3 - 3 \log_2 x^2$

(2.18 (2)) $\log_3 36 - 4 \log_9 18$

2. 解き方の手順

(2) 対数の差は、真数の商になることを利用する。

$\log_3 6 - \log_3 2 = \log_3 \frac{6}{2} = \log_3 3 = 1$

(3) 対数の差は、真数の商になることを利用する。

$\log_5 75 - \log_5 3 = \log_5 \frac{75}{3} = \log_5 25 = \log_5 5^2 = 2$

(5) 対数の差は、真数の商になることを利用する。

$\log_{\frac{3}{4}} 27 - \log_{\frac{3}{4}} 3 - \log_{\frac{3}{4}} 12 = \log_{\frac{3}{4}} \frac{27}{3} - \log_{\frac{3}{4}} 12 = \log_{\frac{3}{4}} 9 - \log_{\frac{3}{4}} 12 = \log_{\frac{3}{4}} \frac{9}{12} = \log_{\frac{3}{4}} \frac{3}{4} = 1$

(6) 底の変換公式を利用する。 $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$.

$\log_3 16 \times \log_2 3 = \frac{\log_2 16}{\log_2 3} \times \log_2 3 = \log_2 16 = \log_2 2^4 = 4$

(7) 対数の性質を利用する。$n \log_a b = \log_a b^n$.

$4 \log_2 x^3 - 3 \log_2 x^2 = \log_2 (x^3)^4 - \log_2 (x^2)^3 = \log_2 x^{12} - \log_2 x^6 = \log_2 \frac{x^{12}}{x^6} = \log_2 x^6 = 6 \log_2 x$

(2.18 (2)) 底の変換公式を利用する。 $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$.

$\log_3 36 - 4 \log_9 18 = \log_3 36 - 4 \frac{\log_3 18}{\log_3 9} = \log_3 36 - 4 \frac{\log_3 18}{2} = \log_3 36 - 2 \log_3 18 = \log_3 36 - \log_3 18^2 = \log_3 36 - \log_3 324 = \log_3 \frac{36}{324} = \log_3 \frac{1}{9} = \log_3 3^{-2} = -2$

3. 最終的な答え

(2) 1

(3) 2

(5) 1

(6) 4

(7) $6 \log_2 x$

(2.18 (2)) -2