三角形ABCにおいて、$B = 45^\circ$, $a:b = 1:2$, $c = \sqrt{2}$であるとき、$\sin A$の値と$a$の値を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$B = 45^\circ$, $a:b = 1:2$, $c = \sqrt{2}$であるとき、$\sin A$の値と$a$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\sin A$ の値を求める。

正弦定理より、

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$

$a:b = 1:2$なので、$b=2a$である。

$\sin B = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\frac{a}{\sin A} = \frac{2a}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

$\frac{1}{\sin A} = \frac{2}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

$\frac{1}{\sin A} = \frac{4}{\sqrt{2}}$

$\sin A = \frac{\sqrt{2}}{4}$

(2) $a$ の値を求める。

余弦定理より、

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$

$(2a)^2 = a^2 + (\sqrt{2})^2 - 2a\sqrt{2}\cos 45^\circ$

$4a^2 = a^2 + 2 - 2a\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$4a^2 = a^2 + 2 - 2a$

$3a^2 + 2a - 2 = 0$

$a = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2)}}{2 \cdot 3}$

$a = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 24}}{6}$

$a = \frac{-2 \pm \sqrt{28}}{6}$

$a = \frac{-2 \pm 2\sqrt{7}}{6}$

$a = \frac{-1 \pm \sqrt{7}}{3}$

$a>0$なので、

$a = \frac{-1 + \sqrt{7}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin A = \frac{\sqrt{2}}{4}$

(2) $a = \frac{-1 + \sqrt{7}}{3}$