1, 2, 3, 4, 5, 6の順列 $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6$ について、以下の条件を満たすものが何通りあるかをそれぞれ求めます。 (1) $a_1 = 2$, $a_2 \neq 2$, $a_3 \neq 3$, $a_4 \neq 4$, $a_5 \neq 5$, $a_6 \neq 6$ (2) $a_1 \neq 1$, $a_2 \neq 2$, $a_3 \neq 3$, $a_4 \neq 4$, $a_5 \neq 5$, $a_6 \neq 6$

## 問題8

1. 問題の内容

1, 2, 3, 4, 5, 6の順列 $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6$ について、以下の条件を満たすものが何通りあるかをそれぞれ求めます。

(1) $a_1 = 2$, $a_2 \neq 2$, $a_3 \neq 3$, $a_4 \neq 4$, $a_5 \neq 5$, $a_6 \neq 6$

(2) $a_1 \neq 1$, $a_2 \neq 2$, $a_3 \neq 3$, $a_4 \neq 4$, $a_5 \neq 5$, $a_6 \neq 6$

2. 解き方の手順

(1)

まず、$a_1 = 2$ なので、残りの 5 つの数字 (1, 3, 4, 5, 6) を $a_2, a_3, a_4, a_5, a_6$ に並べることを考えます。

さらに、$a_2 \neq 2$ という条件は、$a_1 = 2$であるため、常に成り立ちます。よって、$a_2$には1,3,4,5,6のいずれかを入れることができます。

$a_3 \neq 3$, $a_4 \neq 4$, $a_5 \neq 5$, $a_6 \neq 6$ という条件を満たす並べ方を数え上げます。

* $a_3 = 1$ のとき、$a_4, a_5, a_6$ は (4, 5, 6) 以外の並び方であれば良い。つまり (5, 6, 4), (5, 4, 6), (6, 4, 5), (6, 5, 4)の4通り。

* $a_3 = 4$ のとき、$a_4, a_5, a_6$ は (1, 5, 6) を $a_4 \neq 4, a_5 \neq 5, a_6 \neq 6$ を満たすように並べる。つまり (5, 6, 1), (6, 1, 5), (6, 5, 1)の3通り。

* $a_3 = 5$ のとき、$a_4, a_5, a_6$ は (1, 4, 6) を $a_4 \neq 4, a_5 \neq 5, a_6 \neq 6$ を満たすように並べる。つまり (4, 6, 1), (6, 1, 4), (6, 4, 1)の3通り。

* $a_3 = 6$ のとき、$a_4, a_5, a_6$ は (1, 4, 5) を $a_4 \neq 4, a_5 \neq 5, a_6 \neq 6$ を満たすように並べる。つまり (4, 5, 1), (5, 1, 4), (5, 4, 1)の3通り。

$a_2$は1,3,4,5,6の5通りあるので、条件を満たす組み合わせの総数は4+3+3+3 = 13通り。

(2)

これは完全順列の問題です。6つの数字を $a_1$ から $a_6$ に並べるとき、$a_i \neq i$ ($i = 1, 2, 3, 4, 5, 6$) となる並べ方の数を求めます。

完全順列の公式を用いることができます。$n$ 個の要素の完全順列の数を $D_n$ とすると、

$D_n = n! \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!}$

この公式を使うと、$D_6 = 6! (\frac{1}{0!} - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \frac{1}{5!} + \frac{1}{6!}) = 720 (1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} - \frac{1}{120} + \frac{1}{720}) = 360 - 120 + 30 - 6 + 1 = 265$

3. 最終的な答え

(1) 13通り

(2) 265通り

## 問題9

1. 問題の内容

白玉1個、赤玉4個、青玉6個がある。

(1) これらを机の上に円形に並べる方法は何通りあるか。

(2) これらで何通りの首飾りが作れるか。

2. 解き方の手順

(1)

円順列の問題です。まず、全ての玉の総数を求めます。$1 + 4 + 6 = 11$個の玉があります。

円順列の場合、まず普通の順列を考え、それを玉の数で割ります。

しかし、今回は同じ色の玉が複数あるため、重複を考慮する必要があります。

11個の玉を並べる順列は $11!$ です。

同じ色の玉の並び順は区別しないので、白玉1個、赤玉4個、青玉6個の並べ方は、

$\frac{11!}{1!4!6!} = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 11 \times 10 \times 3 \times 7 = 2310$

円順列では、回転して同じになるものを同一視するため、玉の数で割る必要があります。しかし、今回は固定された場所がないため、単純に玉の数で割ることはできません。

ある並び方に対して、回転させて同じになるパターンがいくつか存在します。

円順列の場合、ある1つの玉を固定して、残りの玉の並び方を考えます。今回は白玉が1つしかないので、白玉の位置を固定して考えます。

残りの10個の玉（赤玉4個、青玉6個）の並び方を考えれば良いので、

$\frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 7 = 210$ 通りです。

(2)

首飾りは、円順列に加えて、裏返しにしても同じになるものを同一視します。

つまり、(1)で求めた円順列の数を2で割れば良いのですが、常に割り切れるとは限りません。

210通りの円順列の中に、裏返すと自分自身と一致するものがいくつあるかを考えます。

もし、裏返すと自分自身と一致するものがない場合、210/2 = 105 通りになります。

自己反転型の順列の数を引いてから2で割る必要があります。

白玉を固定した場合、左右対称となる並び方は、赤玉と青玉の数が偶数である必要があるので、10個を左右に5個ずつ分けた場合、赤玉と青玉の数が左右対称になる場合を考える。

赤玉4個、青玉6個なので、左右対称になるのは不可能。

したがって、$\frac{210}{2} = 105$通り。

3. 最終的な答え

(1) 210通り

(2) 105通り