画像には3つの命題が書かれており、それぞれの否定が、同値な別の命題で表現されていることを証明することが求められています。 (1) $\neg(\exists x \ s.t. (P(x) \land Q(x))) \equiv \forall x, (P(x) \Rightarrow (\neg Q(x)))$ (2) $\neg(\exists x \ s.t. (P(x) \land Q(x) \Rightarrow R(x))) \equiv \forall x, (P(x) \land Q(x) \land (\neg R(x)))$ (3) $\neg(\forall x, (P(x) \Rightarrow (Q(x) \land R(x)))) \equiv \exists x \ s.t. (P(x) \land (\neg Q(x)) \lor (\neg R(x)))$

はい、承知いたしました。画像に書かれている問題について、一つずつ解説します。

1. 問題の内容

画像には3つの命題が書かれており、それぞれの否定が、同値な別の命題で表現されていることを証明することが求められています。

(1) $\neg(\exists x \ s.t. (P(x) \land Q(x))) \equiv \forall x, (P(x) \Rightarrow (\neg Q(x)))$

(2) $\neg(\exists x \ s.t. (P(x) \land Q(x) \Rightarrow R(x))) \equiv \forall x, (P(x) \land Q(x) \land (\neg R(x)))$

(3) $\neg(\forall x, (P(x) \Rightarrow (Q(x) \land R(x)))) \equiv \exists x \ s.t. (P(x) \land (\neg Q(x)) \lor (\neg R(x)))$

2. 解き方の手順

各命題について、左辺から右辺を導く（またはその逆）ように、論理的な変形を行います。

(1)

$\neg(\exists x \ s.t. (P(x) \land Q(x)))$

$\equiv \forall x, \neg (P(x) \land Q(x))$ (量化子の否定)

$\equiv \forall x, (\neg P(x) \lor \neg Q(x))$ (ド・モルガンの法則)

$\equiv \forall x, (P(x) \Rightarrow \neg Q(x))$ ($A \Rightarrow B \equiv \neg A \lor B$ を利用)

(2)

$\neg(\exists x \ s.t. (P(x) \land Q(x) \Rightarrow R(x)))$

$\equiv \forall x, \neg(P(x) \land Q(x) \Rightarrow R(x))$ (量化子の否定)

$\equiv \forall x, \neg(\neg (P(x) \land Q(x)) \lor R(x))$ ($A \Rightarrow B \equiv \neg A \lor B$ を利用)

$\equiv \forall x, ((P(x) \land Q(x)) \land \neg R(x))$ (ド・モルガンの法則および二重否定の除去)

$\equiv \forall x, (P(x) \land Q(x) \land \neg R(x))$

(3)

$\neg(\forall x, (P(x) \Rightarrow (Q(x) \land R(x))))$

$\equiv \exists x, \neg (P(x) \Rightarrow (Q(x) \land R(x)))$ (量化子の否定)

$\equiv \exists x, \neg (\neg P(x) \lor (Q(x) \land R(x)))$ ($A \Rightarrow B \equiv \neg A \lor B$ を利用)

$\equiv \exists x, (P(x) \land \neg (Q(x) \land R(x)))$ (ド・モルガンの法則および二重否定の除去)

$\equiv \exists x, (P(x) \land (\neg Q(x) \lor \neg R(x)))$ (ド・モルガンの法則)

3. 最終的な答え

(1) $\neg(\exists x \ s.t. (P(x) \land Q(x))) \equiv \forall x, (P(x) \Rightarrow (\neg Q(x)))$

(2) $\neg(\exists x \ s.t. (P(x) \land Q(x) \Rightarrow R(x))) \equiv \forall x, (P(x) \land Q(x) \land (\neg R(x)))$

(3) $\neg(\forall x, (P(x) \Rightarrow (Q(x) \land R(x)))) \equiv \exists x \ s.t. (P(x) \land (\neg Q(x) \lor \neg R(x)))$