複素数 $z$ について、$|z+1| = 2|z-2|$ が成り立つとき、$|z-3|$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

複素数 $z$ について、$|z+1| = 2|z-2|$ が成り立つとき、$|z-3|$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

複素数 $z$ を $z = x + yi$ ($x$, $y$ は実数) とおきます。

与えられた条件 $|z+1| = 2|z-2|$ を、$x$ と $y$ を用いて書き換えます。

$|z+1| = |(x+1) + yi| = \sqrt{(x+1)^2 + y^2}$

$|z-2| = |(x-2) + yi| = \sqrt{(x-2)^2 + y^2}$

したがって、与えられた条件は

$\sqrt{(x+1)^2 + y^2} = 2\sqrt{(x-2)^2 + y^2}$

両辺を2乗すると、

$(x+1)^2 + y^2 = 4((x-2)^2 + y^2)$

$x^2 + 2x + 1 + y^2 = 4(x^2 - 4x + 4 + y^2)$

$x^2 + 2x + 1 + y^2 = 4x^2 - 16x + 16 + 4y^2$

$0 = 3x^2 - 18x + 3y^2 + 15$

$x^2 - 6x + y^2 + 5 = 0$

$(x^2 - 6x + 9) + y^2 = 4$

$(x-3)^2 + y^2 = 2^2$

これは、中心 $(3, 0)$ 、半径 $2$ の円を表します。

$|z-3|$ は、$z$ と $3$ の距離を表します。

$z = x + yi$ であり、$(x, y)$ は円 $(x-3)^2 + y^2 = 4$ 上にあるので、$|z-3|$ は円上の点 $(x, y)$ と中心 $(3, 0)$ との距離であり、これは円の半径に等しくなります。

したがって、 $|z-3| = \sqrt{(x-3)^2 + y^2} = 2$

3. 最終的な答え

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