関数 $f(x) = x^3 - kx^2 - k^2x$ が極大値5を持つような定数 $k$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 - kx^2 - k^2x$ が極大値5を持つような定数 $k$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を微分して $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = 3x^2 - 2kx - k^2$

次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$3x^2 - 2kx - k^2 = 0$

$(3x+k)(x-k) = 0$

$x = k, -\frac{k}{3}$

ここで、$x=k$と$x=-\frac{k}{3}$のどちらで極大値を取るかを考えます。

$f''(x) = 6x - 2k$

$f''(k) = 6k - 2k = 4k$

$f''(-\frac{k}{3}) = 6(-\frac{k}{3}) - 2k = -2k - 2k = -4k$

$f(x)$ が $x$ で極大値を取るためには、$f''(x) < 0$ である必要があります。

したがって、$f''(-\frac{k}{3}) = -4k < 0$ となる必要があり、$k > 0$ であることがわかります。

このとき、$x=-\frac{k}{3}$で極大値を取るので、$f(-\frac{k}{3}) = 5$ となります。

$f(-\frac{k}{3}) = (-\frac{k}{3})^3 - k(-\frac{k}{3})^2 - k^2(-\frac{k}{3})$

$= -\frac{k^3}{27} - \frac{k^3}{9} + \frac{k^3}{3} = -\frac{k^3}{27} - \frac{3k^3}{27} + \frac{9k^3}{27} = \frac{5k^3}{27}$

$\frac{5k^3}{27} = 5$

$k^3 = 27$

$k = 3$

$k>0$の条件を満たしています。

3. 最終的な答え

$k = 3$