三角形ABCにおいて、$a=8$, $b=4$, $c=6$とする。線分BCの中点をM、線分BMの中点をDとするとき、$AM$, $AD$の長さを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=8$, $b=4$, $c=6$とする。線分BCの中点をM、線分BMの中点をDとするとき、$AM$, $AD$の長さを求める。

2. 解き方の手順

まず、中線定理を使ってAMの長さを求めます。中線定理とは、三角形ABCにおいて、辺BCの中点をMとするとき、

$AB^2 + AC^2 = 2(AM^2 + BM^2)$

が成り立つという定理です。

この問題では、$AB = c = 6$, $AC = b = 4$, $BC = a = 8$です。

したがって、$BM = \frac{BC}{2} = \frac{8}{2} = 4$となります。

中線定理にこれらの値を代入すると、

$6^2 + 4^2 = 2(AM^2 + 4^2)$

$36 + 16 = 2(AM^2 + 16)$

$52 = 2(AM^2 + 16)$

$26 = AM^2 + 16$

$AM^2 = 26 - 16 = 10$

$AM = \sqrt{10}$

次に、ADの長さを求めます。三角形ABMにおいて、BD:DM = 1:1なので、点Dは線分BMの中点です。したがって、$BD = \frac{BM}{2} = \frac{4}{2} = 2$となります。

ここで、三角形ABMに再び中線定理を適用することはできませんが、ベクトルの考え方を利用して求めます。

$\vec{AD} = \vec{AB} + \vec{BD} = \vec{AB} + \frac{1}{4} \vec{BC}$

$\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}$なので、

$\vec{AD} = \vec{AB} + \frac{1}{4} (\vec{AC} - \vec{AB}) = \frac{3}{4} \vec{AB} + \frac{1}{4} \vec{AC}$

$AD^2 = |\vec{AD}|^2 = (\frac{3}{4} \vec{AB} + \frac{1}{4} \vec{AC}) \cdot (\frac{3}{4} \vec{AB} + \frac{1}{4} \vec{AC})$

$AD^2 = \frac{9}{16} |\vec{AB}|^2 + \frac{6}{16} \vec{AB} \cdot \vec{AC} + \frac{1}{16} |\vec{AC}|^2$

$AD^2 = \frac{9}{16} c^2 + \frac{6}{16} |\vec{AB}| |\vec{AC}| \cos A + \frac{1}{16} b^2$

余弦定理より、$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{4^2 + 6^2 - 8^2}{2(4)(6)} = \frac{16 + 36 - 64}{48} = \frac{-12}{48} = -\frac{1}{4}$

$AD^2 = \frac{9}{16}(6^2) + \frac{6}{16}(6)(4)(-\frac{1}{4}) + \frac{1}{16}(4^2)$

$AD^2 = \frac{9}{16}(36) - \frac{36}{16} + \frac{16}{16}$

$AD^2 = \frac{324}{16} - \frac{36}{16} + \frac{16}{16} = \frac{304}{16} = \frac{76}{4} = 19$

$AD = \sqrt{19}$

3. 最終的な答え

$AM = \sqrt{10}$

$AD = \sqrt{19}$