与えられた積分 $\int (2x + 5) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int (2x + 5) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

この積分は、べき乗則と定数の積の積分規則を用いて計算します。具体的には、

$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$

と

$\int cf(x) dx = c\int f(x) dx$

を利用します。

まず、積分を分割します。

$\int (2x + 5) dx = \int 2x dx + \int 5 dx$

次に、定数の積の積分規則を用いて定数を外に出します。

$\int 2x dx + \int 5 dx = 2\int x dx + 5\int 1 dx$

ここで、$\int x dx = \int x^1 dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} + C_1 = \frac{x^2}{2} + C_1$

と

$\int 1 dx = \int x^0 dx = \frac{x^{0+1}}{0+1} + C_2 = x + C_2$

なので、

$2\int x dx + 5\int 1 dx = 2(\frac{x^2}{2}) + 5(x) + C = x^2 + 5x + C$

となります。ここで $C = 2C_1 + 5C_2$ です。

3. 最終的な答え

$x^2 + 5x + C$