三角形ABCにおいて、$a = 1 + \sqrt{3}$, $b = \sqrt{6}$, $c = 2$ のとき、残りの角A, B, Cを求める。

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題について、指定された形式で回答します。今回は、(1)と(4)の問題を解きます。

### (1) の問題

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a = 1 + \sqrt{3}$, $b = \sqrt{6}$, $c = 2$ のとき、残りの角A, B, Cを求める。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いて、各角の余弦を求め、角度を特定する。

まず、角Aについて余弦定理を適用する。

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$

$(1 + \sqrt{3})^2 = (\sqrt{6})^2 + 2^2 - 2(\sqrt{6})(2) \cos A$

$1 + 2\sqrt{3} + 3 = 6 + 4 - 4\sqrt{6} \cos A$

$4 + 2\sqrt{3} = 10 - 4\sqrt{6} \cos A$

$4\sqrt{6} \cos A = 6 - 2\sqrt{3}$

$\cos A = \frac{6 - 2\sqrt{3}}{4\sqrt{6}} = \frac{3 - \sqrt{3}}{2\sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{6} - 3\sqrt{2}}{12} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

$A = 75^\circ$

次に、角Bについて余弦定理を適用する。

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$

$(\sqrt{6})^2 = (1 + \sqrt{3})^2 + 2^2 - 2(1 + \sqrt{3})(2) \cos B$

$6 = 4 + 2\sqrt{3} + 4 - 4(1 + \sqrt{3}) \cos B$

$6 = 8 + 2\sqrt{3} - 4(1 + \sqrt{3}) \cos B$

$4(1 + \sqrt{3}) \cos B = 2 + 2\sqrt{3}$

$\cos B = \frac{2 + 2\sqrt{3}}{4(1 + \sqrt{3})} = \frac{1}{2}$

$B = 60^\circ$

最後に、角Cを求める。

$A + B + C = 180^\circ$

$75^\circ + 60^\circ + C = 180^\circ$

$C = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$

3. 最終的な答え

$A = 75^\circ$, $B = 60^\circ$, $C = 45^\circ$

### (4) の問題

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a = \sqrt{2}$, $b = 2$, $A = 30^\circ$ のとき、残りの辺cと角B, Cを求める。

2. 解き方の手順

正弦定理を用いて、角Bを求め、次に角Cを求める。その後、余弦定理を用いて辺cを求める。

正弦定理より、

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$

$\frac{\sqrt{2}}{\sin 30^\circ} = \frac{2}{\sin B}$

$\frac{\sqrt{2}}{1/2} = \frac{2}{\sin B}$

$\sin B = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$B = 45^\circ$ または $B = 135^\circ$

場合1: $B = 45^\circ$のとき

$C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ = 105^\circ$

余弦定理より、$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$

$c^2 = (\sqrt{2})^2 + 2^2 - 2(\sqrt{2})(2) \cos 105^\circ$

$c^2 = 2 + 4 - 4\sqrt{2} \cos 105^\circ$

ここで、$\cos 105^\circ = \cos (60^\circ + 45^\circ) = \cos 60^\circ \cos 45^\circ - \sin 60^\circ \sin 45^\circ = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

$c^2 = 6 - 4\sqrt{2} (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}) = 6 - 2 + 2\sqrt{12} = 4 + 4\sqrt{3}$

$c = \sqrt{4 + 4\sqrt{3}} = \sqrt{4(1 + \sqrt{3})} = 2\sqrt{1 + \sqrt{3}}$

場合2: $B = 135^\circ$のとき

$C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 30^\circ - 135^\circ = 15^\circ$

余弦定理より、$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$

$c^2 = (\sqrt{2})^2 + 2^2 - 2(\sqrt{2})(2) \cos 15^\circ$

ここで、$\cos 15^\circ = \cos (45^\circ - 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

$c^2 = 6 - 4\sqrt{2} (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}) = 6 - (2\sqrt{3} + 2) = 4 - 2\sqrt{3}$

$c = \sqrt{4 - 2\sqrt{3}} = \sqrt{3 - 2\sqrt{3} + 1} = \sqrt{(\sqrt{3} - 1)^2} = \sqrt{3} - 1$

3. 最終的な答え

(i) $B = 45^\circ$, $C = 105^\circ$, $c = 2\sqrt{1 + \sqrt{3}}$

(ii) $B = 135^\circ$, $C = 15^\circ$, $c = \sqrt{3} - 1$