$\sqrt{2}$が無理数であることを用いて、命題「$1 + \sqrt{2}$は無理数である」を証明する問題です。空欄（1）～（4）に、選択肢Ⅰ～Ⅳを正しい順番に並べたものを選択肢から選びます。

1. 問題の内容

$\sqrt{2}$が無理数であることを用いて、命題「$1 + \sqrt{2}$は無理数である」を証明する問題です。空欄（1）～（4）に、選択肢Ⅰ～Ⅳを正しい順番に並べたものを選択肢から選びます。

2. 解き方の手順

この問題は背理法を用いています。まず、$1 + \sqrt{2}$が無理数でないと仮定します。つまり、$1 + \sqrt{2}$は有理数であると仮定します。

次に、$1 + \sqrt{2}$を有理数$r$と置きます (Ⅳ)。

$1 + \sqrt{2} = r$ より、$\sqrt{2} = r - 1$となります (Ⅰ)。

$r$が有理数ならば、$r - 1$も有理数です(Ⅲ)。

しかし、$\sqrt{2} = r - 1$は$\sqrt{2}$が無理数であることに矛盾します (Ⅱ)。

したがって、この矛盾から、$1 + \sqrt{2}$は無理数であるという結論が得られます。

したがって、空欄に入るべき選択肢の順番は、Ⅳ→Ⅰ→Ⅲ→Ⅱ となります。

3. 最終的な答え

イ.

IV→III → I→ II