与えられた直角三角形について、$x$の長さを求め、$\sin\theta$、$\cos\theta$、$\tan\theta$の値を計算します。

幾何学直角三角形ピタゴラスの定理三角比sincostan
2025/3/23

1. 問題の内容

与えられた直角三角形について、xxの長さを求め、sinθ\sin\thetacosθ\cos\thetatanθ\tan\thetaの値を計算します。

2. 解き方の手順

(1)
ピタゴラスの定理を用いて、xxの長さを求めます。
x2+32=(210)2x^2 + 3^2 = (2\sqrt{10})^2
x2+9=40x^2 + 9 = 40
x2=31x^2 = 31
x=31x = \sqrt{31}
sinθ\sin\thetacosθ\cos\thetatanθ\tan\thetaを計算します。
sinθ=対辺斜辺=210210=210210\sin\theta = \frac{\text{対辺}}{\text{斜辺}} = \frac{2\sqrt{10}}{2\sqrt{10}} = \frac{2\sqrt{10}}{2\sqrt{10}}
cosθ=隣辺斜辺=3210=31020\cos\theta = \frac{\text{隣辺}}{\text{斜辺}} = \frac{3}{2\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{20}
tanθ=対辺隣辺=313\tan\theta = \frac{\text{対辺}}{\text{隣辺}} = \frac{\sqrt{31}}{3}
(2)
ピタゴラスの定理を用いて、xxの長さを求めます。
(7)2+x2=42(\sqrt{7})^2 + x^2 = 4^2
7+x2=167 + x^2 = 16
x2=9x^2 = 9
x=3x = 3
sinθ\sin\thetacosθ\cos\thetatanθ\tan\thetaを計算します。
sinθ=対辺斜辺=34\sin\theta = \frac{\text{対辺}}{\text{斜辺}} = \frac{3}{4}
cosθ=隣辺斜辺=74\cos\theta = \frac{\text{隣辺}}{\text{斜辺}} = \frac{\sqrt{7}}{4}
tanθ=対辺隣辺=37=377\tan\theta = \frac{\text{対辺}}{\text{隣辺}} = \frac{3}{\sqrt{7}} = \frac{3\sqrt{7}}{7}

3. 最終的な答え

(1)
x=31x = \sqrt{31}
sinθ=31210=31020\sin\theta = \frac{\sqrt{31}}{2\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{310}}{20}
cosθ=3210=31020\cos\theta = \frac{3}{2\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{20}
tanθ=313\tan\theta = \frac{\sqrt{31}}{3}
(2)
x=3x = 3
sinθ=34\sin\theta = \frac{3}{4}
cosθ=74\cos\theta = \frac{\sqrt{7}}{4}
tanθ=37=377\tan\theta = \frac{3}{\sqrt{7}} = \frac{3\sqrt{7}}{7}

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